Hurtighed

Rapidity ( eng. rapidity , nogle gange også brugt [1] er begreberne hyperspeed og vinkel for Lorentz rotation ) - i relativistisk kinematik , en monotont stigende funktion af hastighed , som har en tendens til uendelig, når hastigheden tenderer til lysets hastighed . I modsætning til hastighed, hvor additionsloven er ikke-triviel, er hastighed karakteriseret ved en simpel additionslov ("hastighed er additiv"). Derfor er det i problemer, der involverer relativistiske bevægelser (f.eks. kinematik af partikelreaktioner i højenergifysik ), ofte mere bekvemt at bruge formalismen med hurtigheder frem for almindelige hastigheder.

Definition og egenskaber

Hastigheden er udtrykt ved formlen:

\theta =c\,\operatørnavn {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{ c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},

hvor

$\theta$ - hastighed,
$v$ - normal hastighed
$c$ er lysets hastighed,
$\operatørnavn {Arth} x$ - arealtangens .

Areatangenten (eller hyperbolsk buetangens ) er defineret i området for argumentet fra −1 til +1; med funktion $\operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$ $x\to \pm 1$ $\operatornavn {Arth} x\to \pm \infty .$

Fart har således dimensionen hastighed, og når hastigheden ændres fra til ændres den fra til . Nogle gange introduceres også hastighedsparameteren - en dimensionsløs størrelse , som nogle gange også kaldes hastighed (især med den sædvanlige brug af systemet af enheder i højenergifysik, hvor , hvilket i høj grad forenkler formlerne; med denne definition bliver hastighed dimensionsløs og falder sammen med hastighedsparameteren). $-c$ $+c$ $-\infty$ $+\infty$ $\varphi \equiv \theta /c\equiv \operatørnavn {Arth} {\frac {v}{c}}$ $c=1$

I grænsen for lave hastigheder er hastigheden omtrent lig med hastigheden:

\theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+...\right)\ ca v

kl .

v\ll c

I det ultrarelativistiske tilfælde kan hastighedsparameteren udtrykkes i form af energi og længdemomentum (hvor α er afgangsvinklen) som følger: $E\gg m$ $p_{\|}=p\cos \alpha$

\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.

I dette tilfælde kan partiklens energi og longitudinelle momentum udtrykkes i form af partikelmassen, det tværgående momentum og hastighedsparameteren: $p_{\perp }=p\sin \alpha$

E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp}^{2}c^{2))}\operatørnavn {ch} \varphi ,

p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operatørnavn {sh} \varphi .

Lorentz-faktor

En hyppigt anvendt størrelse forbundet med hastighed er Lorentz-faktoren eller Lorentz-faktoren , opkaldt efter G. A. Lorentz og defineret som

\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))

Lorentz-faktoren er lig med den hyperbolske cosinus af hastighedsparameteren:

\gamma =\operatørnavn {ch} \varphi .

Når hastigheden stiger fra 0 til , stiger Lorentz-faktoren fra 1 til . $c$ $\gamma$ $+\infty$

Den hyperbolske sinus af hastighedsparameteren er lig med produktet af Lorentz-faktoren og den dimensionsløse hastighed:

\beta \gamma =\operatørnavn {sh} \varphi .

Additivitet af hastighed

Lad i en eller anden inerti-referenceramme to partikler bevæge sig langs en lige linje, hastigheden af den ene af dem er lig med , og hastigheden af den anden i forhold til den første er ens (hastigheder kan være både positive og negative). Lad os betegne hastigheden af den anden partikel i systemet som . Ved lave (sammenlignet med lysets hastighed) hastigheder er den galileiske lov om addition af hastigheder tilnærmelsesvis opfyldt . Men i det relativistiske tilfælde virker denne formel ikke, og hastigheden af den anden partikel skal beregnes ved hjælp af Lorentz-transformationer . Relativistisk lov om addition af hastigheder $K$ $v_{1}$ ${\displaystyle v'_{2))$ $K$ $v_{2}$ $c$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2))$

v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}} }}

adskiller sig fra den galilæiske nævner, som er tæt på enhed ved lave hastigheder. Overvej de hastigheder, der svarer til hastighederne . Det viser sig, at hastigheden af den anden partikel i referencerammen er lig med summen af hastighederne: $\theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c))$ $K$

\theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.

Bekvemmeligheden ved at skrive loven om addition af hastigheder i form af hastigheder har ført til, at denne størrelse er ret udbredt i relativistisk kinematik, især i acceleratorfysik. Det skal dog huskes, at tilføjelsen af hastigheder falder sammen i form med den galileiske vektortilsætning af hastigheder kun for endimensionel bevægelse af partikler.

Den samlede hastighed introduceres også, som er additiv under Lorentz-transformationer og repræsenterer en afstand i hastighedernes rum. Hastighed er den langsgående komponent af den samlede hastighed. $\vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp)),$

Den geometriske betydning af hastighed

I Minkowski-rummet er hurtighed vinklen mellem tangenten til partiklens verdenslinje og tidsaksen i basisreferencerammen. I Minkowski-formalismen ( ) er denne vinkel imaginær . $x_{0}=ict$

I formalismen af hyperbolske komplekse tal (også kendt som dobbelttal eller parakomplekse tal - en variant af komplekse tal, hvor den imaginære enhed j er defineret af relationen j 2 = +1 ), er et punkt i Minkowski-rummet repræsenteret af et parakompleks. tal z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , hvor φ og ρ er reelle. I dette tilfælde er vinklen φ hastigheden af en partikel, der bevæger sig ensartet fra origo og passerer gennem punktet z , og ρ er intervallet fra origo til punktet z (det vil sige den korrekte tid for partiklen, der er forløbet fra passerer gennem oprindelsen til passerer gennem z ). Lorentz-transformationen bestemmes ved at gange rum-tid-koordinaterne udtrykt ved parakomplekse tal med et parakomplekst tal med enhedsmodul λ(φ) = e j φ . Som et resultat bevares alle intervaller, og det parakomplekse Minkowski-plan roteres med en vinkel φ . To på hinanden følgende Lorentz-transformationer viser additiviteten af hastigheden, svarende til additiviteten af rotationsvinklen:

λ(φ) λ(ψ) = e j φ e j ψ = e j (φ + ψ) = λ(φ + ψ).

Nogle mængder af speciel relativitet udtrykt i form af hastighed

Relativistisk momentum:

p=mc\cdot \operatørnavn {sh} {\frac {\theta }{c))=mc\cdot \operatørnavn {sh} \varphi ,

hvor:

m er massen,
c er lysets hastighed,
φ = θ/ c er hastighedsparameteren (dimensionsløs hastighed).

Samlet energi:

E=mc^{2}\cdot \operatornavn {ch} {\frac {\theta }{c))=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} \varphi .

Hastighed på tankstationen:

v=c\cdot \operatørnavn {th} {\frac {\theta }{c))=c\cdot \operatørnavn {th} \varphi .

Dimensionsløs hastighed

\beta =\operatørnavn {th} \varphi .

Relativistisk Doppler-effekt (hvis hastighedsvektoren falder sammen med retningen til kilden):

1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi },

hvor er rødforskydningsparameteren . $z$

Se også

Pseudohastighed
Lorenz boost

Litteratur

Baburova O. V. Relativistisk kinematik og geometri af Lobachevsky // Soros Educational Journal. - 2004. - T. 8 . - S. 77-84 . (Russisk)
Grishin V. G. Rapidity // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Lange linjer. - S. 233. - 707 s. — 100.000 eksemplarer.

Noter

↑ Kopylov G.I. Fundamentals of kinematics of resonances. — M .: Nauka, 1970.