Uendelig plads

Et uendeligt dimensionelt rum er et vektorrum med en uendelig stor dimension . Studiet af uendelig-dimensionelle rum og deres kortlægninger er hovedopgaven for funktionel analyse. De enkleste uendeligt-dimensionelle rum er Hilbert-rum , som i egenskaber er tættest på finit-dimensionelle euklidiske rum [1] .

Definition

Et lineært vektorrum kaldes uendeligt-dimensionelt, hvis det for et hvilket som helst heltal indeholder et lineært uafhængigt system bestående af vektorer [2] [3] . $N>0$ $N$

Basis

For et uendeligt dimensionelt rum er der forskellige definitioner af et grundlag . Så for eksempel er Hamel-grundlaget defineret som et sæt vektorer i et lineært rum, således at enhver rumvektor kan repræsenteres som en endelig lineær kombination af dem på en unik måde.

For topologiske vektorrum kan der defineres en Schauder-basis . Systemet af elementer danner rummets Schauder-grundlag, hvis hvert element er unikt repræsenteret som en konvergent række [4] . Schauder-grundlaget eksisterer ikke altid. ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\))$ $E$ $x\in E$ ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k))$

Eksempler

Lineært rum af kontinuerte funktioner på et givet interval [2] .
Hilbertrum dannet af en uendelig talfølge med en konvergent sum af kvadrater [5] . $x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)$ $\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty$
Mængden af alle polynomier [6] .
Faserummet i statistisk fysik er næsten uendeligt-dimensionelt. [7]
Rummet af kvadratiske summerbare sekvenser

Egenskaber

Et uendeligt-dimensionelt rum er ikke isomorft til noget endeligt-dimensionelt rum [8] .

Se også

et endeligt dimensionelt rum

Noter

↑ Funktionsanalyse // Matematisk encyklopædisk ordbog / kap. udg. Yu. V. Prokhorov . - M., Soviet Encyclopedia , 1988. - s. 613-615
↑ 1 2 Efimov, 2004 , s. 33.
↑ Shikin E. V. Lineære rum og kortlægninger. - M., Moscow State University , 1987. - s. 17
↑ Crane, 1964 , s. 74.
↑ Shilov, 1961 , s. 182.
↑ Efimov, 2004 , s. 42.
↑ Manin Yu.I. Matematik som metafor. - M., MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-287-9 . - Med. 148
↑ Efimov, 2004 , s. 39.

Litteratur

Efimov N.V. , Rozendorn E.R. Lineær algebra og multidimensionel geometri. - M . : Fizmatlit, 2004. - 464 s. — ISBN 5-9221-0386-5 .
Shilov G.E. Matematisk analyse. Særligt kursus. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.
udg. Kran S.G. Funktionel analyse. - M. : Nauka, 1964. - 424 s. - 17.500 eksemplarer.