Analytisk signal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. juli 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Analytisk signal (analytisk repræsentation af et signal) er en matematisk repræsentation af et analogt signal, der bruges i teorien om signalbehandling i form af en kompleks værdisat analytisk funktion af tid. Det sædvanlige, reelle signal x er så den reelle del af den analytiske repræsentation x a .

Ideen med transformationen er kun at efterlade ikke-negative frekvenser i signalspektret , tilstrækkeligt til at genoprette det på grund af hermitisk symmetri: . $X(-f) = \overline{X(f)}$

Det analytiske signal er en generalisering af begrebet kompleks amplitude til tilfældet med andre signaler end harmoniske .

Definition

Lad x ( t ) være en funktion med reel værdi, der repræsenterer signalet, hvis Fourier-transformation (dvs. spektrum) vi betegner med X ( f ), [1] og u( f ) Heaviside-funktionen .

Derefter:

\begin{align} X_\mathrm{a}(f) & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{cases} \ \ 2 X(f), & \mbox{for } f > 0, \\ \ \ X(f), & \mbox{for } f = 0, \\ \ \ 0, & \mbox{for } f < 0, \end{cases} \\ &= X(f) \cdot 2 \mathrm{u}(f) \end{align}

indeholder kun den ikke-negative del af spektret af X ( f ).

Ved at udsætte det resulterende spektrum for den inverse Fourier-transformation får vi et analytisk signal: $X_{\mathrm {a} }(f)$

\begin{align} x_\mathrm{a}(t) &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\}}_{x(t)} \ * \ \underbrace {\mathcal{F}^{-1}\{2 \mathrm{u}(f)\}}_{\delta(t) + j\cdot {1 \over \pi t}} \quad \quad \ mbox{ } \\ &= x(t) + j\underbrace{\left[x(t) * {1 \over \pi t}\right]}_{\hat{x}(t)}, \end {align}

hvor * er foldningen , er Hilbert-transformationen af funktionen et middel den imaginære enhed . $\hat{x}(t)$ $x(t),$ $j$

Eksempler

Lad for en vis frekvens $x(t)=\cos(\omega _{0}t)$ $\omega _{0}>0$

Derefter:

{\hat {x}}(t)=\cos(\omega _{0}t-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})= \sin(\omega _{0}t)

x_{\mathrm {a} }(t)=\cos(\omega _{0}t)+j\cdot \sin(\omega _{0}t)=e^{j\omega _{ 0}t}

Dette er en kompleks funktion med et argument, der stiger med tiden .

Praktiske applikationer

Elimineringen af "negative frekvenser" bruges i analog lydtransmission ( AM broadcasting , analog telefoni ) for at spare båndbredde .

Noter

↑ Bemærk, at f er en frekvensvariabel , ikke en funktion.

Se også

Kompleks modstand

Eksterne links