Autonomt system af differentialligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. januar 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Autonomt system af differentialligninger (et andet navn: stationært system af differentialligninger ) - et specialtilfælde af et system af differentialligninger , når systemets argument ikke er eksplicit inkluderet i de funktioner, der definerer systemet. $t$

Et autonomt system i sin normale form (også kaldet et dynamisk system) har formen:

{\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n

eller i vektornotation:

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})

Reduktion til selvstændig form

Ethvert system af differentialligninger kan reduceres til et autonomt ved at introducere en ekstra hjælpefunktion , erstatte argumentet med det, hvor det optræder eksplicit, og supplere systemet med endnu en ligning . En sådan udskiftning er dog af overvejende teoretisk betydning, da den øger systemets dimension fra til , hvilket komplicerer strukturen af løsningsfamilien. Der er dog en praktisk interesse i en sådan udskiftning. I numeriske metoder til stive systemer er det praktisk at gå videre til "buelængde"-argumentet, dette gøres ved følgende relation , som faktisk er buelængden af integralkurven i n + 1-dimensionelt rum. $x_{{n+1}}$ $t$ ${\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1$ $n$ $n+1$ ${\displaystyle dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2))))$

Autonome systemegenskaber

Hvis er en løsning af et autonomt system af differentialligninger (i vektorform), så forbliver denne funktion en løsning, selv når argumentet forskydes. Et autonomt system modellerer autonome processer, det vil sige en proces, der ikke er underlagt ydre påvirkninger, og stationære processer, det vil sige processer, der etableres i tid. Alle disse processer er fuldstændigt bestemt af startværdierne af tilstandsvariablerne, dvs. og afhænger ikke af valget af argumentets begyndelsesværdi . ${\bar {x}}={\bar {x}}(t)$ $x_1,\prikker,x_n$ $t$

Se også

Homogent system af lineære differentialligninger med konstante koefficienter
Unik løselighed af Cauchy-problemet for et system af lineære differentialligninger
Afvigelse af autonome systembeslutninger

Autonomt system af differentialligninger

Reduktion til selvstændig form

Autonome systemegenskaber

Se også

Links