Centrale styrker og deres felter

Den centrale kraft er en kraft, hvis virkningslinje, i en hvilken som helst position af kroppen, som den påføres, passerer gennem et punkt kaldet kraftcentrum (punkt i fig. 1) [1] . $K$

Eksempler på centrale kræfter er gravitations- og Coulomb -kræfterne , som er rettet langs en linje, der forbinder punktmasser eller punktladninger .

Den nemmeste måde at indføre centrale kræfter på er for fysiske systemer, der består af et begrænset antal objekter, hvis størrelser kan negligeres (materialepunkter), eller nogle gange nogle tilsvarende, bestående af udvidede objekter med en fast indre struktur [2] . Distribuerede systemer, hvori centrale kræfter virker, i det generelle tilfælde [3] , kan ikke repræsenteres af et begrænset antal materielle punkter. I tilfælde af distribuerede systemer er den generelle tilgang at opdele dem i et meget stort (i grænsen uendeligt) antal elementer af lille (i grænsen, der tenderer til nul) hver størrelse (som betragtes som materielle punkter), mellem hvilke de centrale kræfter handler i overensstemmelse med definitionen ovenfor. I dette tilfælde er hver elementær kraft i virkeligheden central, og den reelle kraft er summen (superposition) af sådanne elementære kræfter.

Klassisk fysik introducerer også konceptet om et centralt kraftfelt for et område af tredimensionelt rum, hvori centrale kræfter virker. [fire]

For enhver central kraft , forholdet $\vec F$ ${\vec {M}}={\vec {r}}\time {\vec {F}}=0,$

(hvor M er kraftmomentet, er radiusvektoren med origo i kraftcentrum), hvilket indikerer, at kraftmomentet i forhold til kraftcentret er lig nul: ${\vec {r))$

Tving felter

Disse felter svarer til Coulomb-kræfter (kræfter af elektrostatisk vekselvirkning) og gravitationskræfter (universel gravitationskræfter). Ligheden mellem dem ligger i, at de kan detekteres under interaktionen af materielle genstande, og i tilfælde af tyngdekraft er den egenskab, der bestemmer denne interaktion massen, og i tilfælde af Coulomb-interaktionen ladningen båret af denne masse. Ladninger, der ikke er relateret til masse, er ukendte for klassisk fysik.

Værdien, der karakteriserer intensiteten af det centrale kraftfelt, er en vektor rettet langs linjen, der forbinder punktkilden og det specificerede punkt i feltet.

Potentielle centrale felter

Centralstyrkens arbejde

En krafts elementære arbejde , inklusive den centrale kraft, er en skalær størrelse, der beregnes som en ændring i energi, når kraftens anvendelsespunkt bevæger sig (i det almindelige tilfælde ændrer dens størrelse og retning), når den bevæger sig til en så lille segment af dens bane, at kraftvektoren på den kan betragtes som uændret, det vil sige i en afstand : $dA$ $\vec F$ ${\vec {d}}r$

$dA={\vec {F}}{\vec {d}}r=F\cos \alpha dr$ (5)

hvor er vinklen mellem disse vektorer. Siden , så er retningen af vinkelaflæsningen ligegyldig. $\alfa$ $\cos \alpha =\cos(-\alpha )$

Når man flytter en afstand fra til , kan hele stien opdeles i elementære sektioner. Og så vil det samlede arbejde være summen af disse elementære værker med jo større nøjagtighed, jo flere sektioner vil banerne blive opdelt i, hvilket udtrykkes med integraltegn, som grænsen for denne sum: $r_{1}$ $r_{2}$ $jeg$ $EN$ $n$

$A=\lim \sum _{i=1}^{n}{F_{i}}\cos _{i}\alpha _{i}\ dr_{i}=\int \limits _{r_ {1}}^{r_{2}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}(6)$

I betragtning af bevægelsen i det kartesiske koordinatsystem kan den centrale kraft repræsenteres som en geometrisk sum af dens projektioner på koordinatakserne:

${\vec {F}}={\vec {F}}_{x}+{\vec {F}}_{y}+{\vec {F}}_{z}=F_{x }{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}(7)$

hvor , , er enhedsvektorer ( orts ) for deres akser. ${\vec i}$ $\vec j$ ${\vec k}$

Feltpotentiale

Ikke for hvert kraftfelt afhænger det arbejde, det udfører, kun af placeringen af de indledende og sidste bevægelsespunkter. Det afhænger med andre ord ikke af stiens form.

Det nævnte integral vil kun afhænge af stiens form, hvis der er en eller anden antiafledt funktion , i udtrykket af den totale differential, hvis: $U$

dU={\frac {\partial U}{\partial x}}dx+{\frac {\partial U}{\partial y}}dy+{\frac {\partial U}{\partial z}}dz (otte)

dets partielle derivater vil svare til kraftfremskrivninger (i henhold til den eksisterende konventionelle aftale - op til et tegn):

dU=-F_{x}dx-F_{y}dy-F_{z}dz(9)

I dette tilfælde vil funktionen blive kaldt den potentielle funktion , og kraftfeltet vil blive kaldt det potentielle felt . [5] $U$

Men dette bliver kun muligt, hvis lighederne samtidig er opfyldt:

${\frac {\partial F_{y)){\partial z))={\frac {\partial F_{z)){\partial y));{\frac {\partial F_{z)) {\partial x))={\frac {\partial F_{x)){\partial z));{\frac {\partial F_{x)){\partial y))={\frac {\partial F_ {y}}{\partial x}}(10)$

For centrale kræfter er denne betingelse opfyldt. Et felt, hvor disse betingelser er opfyldt, kaldes et irrotationsfelt . Derfor er potentielle felter irrotationsfelter. [5]

Minustegnet i formlen, der forbinder den potentielle funktion og kraften, er bestemt af ønsket om at identificere den potentielle funktion med den potentielle energi [6] (ellers kunne man undvære minustegnet, hvilket nogle gange gøres rent formelt, når man indfører en potentiel funktion, især for et vektorfelt, der ikke har karakter af kraft).

Kommunikation med potentiel energi foregår naturligvis gennem arbejde.

Det forekommer naturligt at antage, at feltstyrkevektoren er rettet FRA feltets kilde, (hvilket sædvanligvis accepteres, når man beskriver det elektrostatiske felt i samspillet mellem ladninger af samme navn [7] ) Derefter fikseres et punkt placeret ved en afstand fra den centrale ladning og giver den frihed, får vi, at den er under kraft vil bevæge sig til det uendelige. I dette tilfælde vil arbejdet udført af feltet være lig med: $r_{1}$

$A_{r_{1}}=\int \limits _{r_{1}}^{\mathcal {1}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}( elleve)$ .

Det samme kan siges, hvis feltet flyttede kroppen længere og som følge heraf gjorde mere arbejde, og derfor er forskellen i arbejdet på stien mellem punkterne større end nul. ${\displaystyle r_{2}>r_{1))$

Og disse værker kan kaldes op til et konstant punktpotentiale : og , hvilket betyder med potentialet evnen til at udføre arbejde, der er højere for et tættere punkt end for et mere fjernt. ${\displaystyle U_{l1))$ ${\displaystyle U_{l2))$

Så vil arbejdet udført af feltet være lig med potentialforskellen taget med et minustegn

$A=\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}=U_{l1}-U_{ l2}=-\Delta U(12)$

Kraftens arbejde på vej fra startpunktet til slutpunktet er således lig med ændringen i potentialfunktionen, som er en skalarfunktion af afstanden. I dette tilfælde er det for hvert punkt på stien muligt, op til en konstant værdi, at tildele sit eget potentiale : $U$

Felt som potentiel gradient

I feltet for den centrale kraft er dens komponent langs en given akse ændringshastigheden af den potentielle funktion langs den samme akse eller gradienten af funktionen langs en given retning.

For at beskrive ændringen i potentialfunktionen i en vilkårlig retning i feltteori introduceres en vektordifferentialoperator, som har formen :

\nabla \equiv {\frac {\partial }{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\vec {j}}+{ \frac {\partial }{\partial z}}{\vec {k}}(13)

Ved at anvende denne operator på potentialfunktionen opnår vi, at kraften på et givet punkt i feltet er (op til fortegn) potentialets gradient:

{\vec {F}}=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}={\vec {F}}_{x}+{\vec {F}}_{y}+{\vec {F}}_{z}=-\nabla U\equiv -\mathbf {grad} U(14).

Minustegnet, som efter den sædvanlige konvention er til stede i denne formel, skyldes, at funktionen U kan identificeres med den potentielle energi (selv om den potentielle funktion rent formelt kunne vælges med et andet fortegn, hvis en sådan identifikation antages ikke).

Coulomb felt

Intensiteten af Coulomb-feltet bestemmes af vektoren lig med: ${\vec E}$

${\vec {E}}=C_{Q}{\frac {Q{\vec {r}}}{r^{3}}}(15)$

eller over til den skalære notation:

$E=C_{Q}{\frac {Q}{r^{2))}(16)$

Her ; - kroppens ladning - kraftkilden; , er afstanden til det punkt, hvor intensiteten bestemmes, og konstanten afhænger af den dielektriske konstant for mediet , (for tomt rum lig med 1), hvor feltet eksisterer: $E=\lVert {\vec {E}}\rVert$ $Q$ $r=\lVert {\vec {r}}\rVert$ $C_{Q}$ $\varepsilon$

${\displaystyle C_{Q}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0))))$ , hvor:

$\varepsilon _{0}$ er den dielektriske konstant for vakuumet. I dette tilfælde for et vakuum

${\displaystyle C_{Q}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0))))$ = Vm/Som i det internationale system af enheder [8] , $10^{10}$

Coulomb styrker

Coulomb-feltets handlingsobjekt er et materielt legeme, der bærer en ladning $q$

I dette tilfælde virker en mekanisk (newtonsk) kraft af elektrisk oprindelse på den, svarende til produktet af ladningens størrelse og feltstyrken:

eller i betragtning af ():

${\vec {F}}_{q}=C_{Q}{\frac {qQ{\vec {r}}}{r^{3}}}(17)$ eller i skalær repræsentation:

$F_{q}=C_{Q}{\frac {qQ}{r^{2}}}(18)$

Et specifikt træk ved Coulomb-feltet er, at vektoren for dets intensitet enten er rettet FRA feltets kilde i tilfælde af sammenfaldet af tegnet for ladningen af kilden og genstanden for interaktion, eller er rettet mod kilden i tilfælde af modsatte afgifter. Det betyder, at ladede materielle legemer i det første tilfælde vil opleve en frastødende kraft, og i det modsatte tilfælde en kraft, der bringer dem tættere på.

En anden egenskab ved Coulomb-feltet er den tekniske evne til at vælge et område af rummet, hvor det vil være fraværende i det nødvendige omfang ( Faraday-bur )

Tyngdekraftsfelt

I russisksproget litteratur kaldes tyngdefeltets intensitet "acceleration af frit fald" , i udlandet kaldes det nogle gange tyngdefeltets intensitet. ${\vec {g))$

${\vec {g}}=G{\frac {M{\vec {r}}}{r^{3}}}(19)$

Eller skift til skalær notation: $g=G{\frac {M}{r^{2}}}(20)$

Her ; er kroppens masse - kilden til tyngdekraften; er afstanden til det punkt, hvor intensiteten bestemmes, og konstanten er gravitationskonstanten, som ifølge moderne data er , [9] $g=\lVert {\vec {g}}\rVert$ $M$ $r=\lVert {\vec {r}}\rVert$ $G$ $G=6.6742*10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg*s^{2}}}$

Tyngdekræfter

Tyngdefeltets virkningsobjekt er et materielt legeme med en masse $m$

I dette tilfælde påvirkes den af en mekanisk kraft svarende til produktet af kropsmassen og feltstyrken. Det er essentielt, at der ikke er nogen størrelsesforskel mellem massen inkluderet i Newtons anden lov og massen af det samme legeme, der er udsat for tyngdekraften. Så overvejer (): $m$

${\vec {F}}_{g}=m{\vec {g}}(21)$

eller i skalær repræsentation:

$F_{g}=mg\ (22)$

Et specifikt træk ved tyngdekræfterne er, at de altid er tiltrækningskræfter. Derudover er tyngdekræfterne altgennemtrængende, og intet skjold kan forsvare sig mod dem. Denne egenskab kombinerer tyngdekraften med de fiktive inertikræfter, der findes i enhver ikke-inertiel referenceramme. En sådan analogi er baseret på rummets grundlæggende egenskaber, hvis undersøgelse ligger uden for den klassiske fysiks rækkevidde. [ti]

Tyngdefeltspotentiale

Ved at erstatte værdien af universel gravitationskraft i (6) fra (20), opnår vi, under hensyntagen til det faktum, at arbejdet blev udført mod feltet:

$A=-GmM\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}d{\vec {r} }=-GmM\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)=U_{2}-U_{1}$ (23)

Således kan hvert punkt i gravitationsfeltet, op til en konstant, tildeles sit eget potentiale, som:

$U_{r}=-GmM\left({\frac {1}{r}}\right)$ [11] (24)

Bevægelse under påvirkning af en central kraft

I det generelle tilfælde kan enhver bane af et legeme, betragtet som et materielt punkt, repræsenteres som en rumlig kurve bestående af konjugerede drejninger i forskellige planer omkring øjeblikkelige drejningscentre med forskellige værdier af venderadius på samme figur. Det har. $r_{c}$

Men kurvens krumning betyder slet ikke, at en bestemt kraft virker på kroppen, som for hvert øjeblik er en centripetalkraft.

Kommentar

Den sidste klausul er meget vigtig. Så for eksempel, for en jordbaseret observatør, bevæger en bombe, der falder fra et ensartet og retlinet flyvende fly, sig langs en parabel. Men for piloten falder den lodret under påvirkning af den eneste tyngdekraft i dette tilfælde (hvis du ikke tager højde for driften på grund af luftmodstand). Der er ingen kræfter, der forårsager krumningen af banen her. Centripetale kræfter opstår ikke fordi banen er buet, men fordi de er et udtryk for den faktiske kraftinteraktion mellem et bevægeligt objekt og dets omgivelser.

Man mener, at der i kraftcentret er en kraftkilde, som kan være en graviterende masse, eller en elektrisk ladning, hvis den pågældende kraft er en karakteristik af det tilsvarende kraftfelt. Kraftcentret falder generelt ikke sammen med det øjeblikkelige rotationscenter - punktet i fig. Dette sammenfald finder kun sted, når kroppen roterer langs en cirkelbue. [fire] $C$

Som det kan ses i fig . $\alfa$ $K$ ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}={\vec {F}}_{t}+{\vec {F}}_{n}$

I dette tilfælde er der en tangentiel kraft, afhængigt af kroppens bevægelsesretning langs dens bane i figuren, enten bremse dens bevægelse eller accelerere den. ${\vec {F}}_{t}$

${\vec {F}}_{n}$ er en kraft rettet langs normalen til tangenten til banen mod det øjeblikkelige centrum og er derfor en centripetalkraft. [12]

Direkte fra definitionen af begreberne kraftmomenter og momentum (momentum) følger det eksperimentelt bekræftede faktum, at ændringshastigheden af vinkelmomentet af et roterende legeme er direkte proportional med størrelsen af det påførte kraftmoment. til kroppen : ${\vec L}$ ${\vec M}$

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}(3)$

Men i feltet for den centrale kraft er dens moment altid lig nul (formel (1)). Det følger direkte af dette, at for enhver bevægelse af kroppen i feltet af den centrale kraft, forbliver vinkelmomentet af kroppen, der bevæger sig under dens handling, konstant:

${\vec {L}}=const(4)$ . Men da vektorens konstantitet samtidig er bevarelsen af dens retning i rummet, ligger området, der fejes op under kroppens bevægelse, altid i samme plan. Heraf følger, at enhver bevægelsesbane af et legeme under påvirkning af en central kraft er en flad kurve.

Oftest studeres bevægelser af legemer i et gravitationsfelt inden for himmelmekanik, hvor gravitationspåvirkninger dominerer, og derfor kan systemet af interagerende kræfter, der undersøges, betragtes som et konservativt system , dvs. et, hvori den samlede kroppens energi bevares som en sum af potentiel og kinetisk energi. [fire]

${\displaystyle E=W_{k}+W_{p))$ (25), hvor:

$W_{k}={\frac {m}{2}}(v_{n}^{2}+v_{t}^{2})(26)$ desuden og svarer til hastighederne skabt af de normale og tangentielle komponenter af kraften, der virker på kroppen i fig. $v_{n}$ ${\displaystyle v_{t))$

Ved at bruge definitionen af det kinetiske moment: opnår vi relationen for den kinetiske energi af den tangentielle bevægelse: ${\displaystyle L=mrv_{t))$

$W_{k}(t)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}(27)$ .

Og for bevægelse langs normalen til banen: $W_{k}(n)={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}(28)$

$W_{p}={\frac {GmM}{r}}(29)$

Så vil udtrykket for kroppens samlede energi se ud:

$E={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r }}(tredive)$

Introduktion til det effektive potentiale : $U^{*}$

$U^{*}={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}(31)$

Vi får mulighed for at forbinde ændringsområdet i længden af radiusvektoren af kropsbanen med energien lagret af den, hvilket er vist i fig. 2 [13]

Så ved minimumsenergien af det bevægelige legeme bevæger kroppen sig i en cirkulær bane med en radius $E_{3}$ $r_{0}$

Hvis kroppens bevægelsesenergi er større, f.eks . vil kroppens bane være en ellipse med en mindre halvakse og en større . $E_2$ $r_{a}$ $r_{b}$

Til sidst, med kroppens energi , vil de spredes og nærme sig minimumsafstanden $E_1$ $r_{s}$

Noter

↑ Centralstyrke // Fysisk encyklopædi / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M .: Great Russian Encyclopedia , 1998. - T. 5. - S. 425-426. — 760 s. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ Dette refererer til sfærisk symmetriske objekter (eller objekter, der adskiller sig lidt nok fra sfærisk symmetriske, så de kan betragtes som sfærisk symmetriske inden for rammerne af arbejdstilnærmelsen).
↑ Faktisk - i næsten alle tilfælde, bortset fra de ovenfor beskrevne; selv i et så simpelt tilfælde som Coulomb-interaktionen af absolut stive ikke-sfæriske legemer med fordelte ladninger fastgjort på dem, er det normalt umuligt at reducere beregningen af kræfter til kræfter mellem et lille antal materielle punkter.
↑ 1 2 3 Physical Encyclopedic Dictionary / Kap. udg. A. M. Prokhorov. Red.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov og andre - M .: Sov. encyclopedia, 1983.-323 s., il, 2 ark farve ill.
↑ 1 2 Bronstein I. N. Semendyaev K. A. Håndbog i matematik. M .: Forlaget "Nauka" Redaktion for fysisk og matematisk referencelitteratur, 1964.
↑ Da summen af potentielle og kinetiske energier skal bevares, i retning af kraften (som kan accelerere partiklen i denne retning og dermed øge dens kinetiske energi), falder den potentielle energi.
↑ Tamm I. E. Grundlæggende om teorien om elektricitet
↑ GOST 8.417-2002. Enheder
↑ Ulrich Leute. Physik und ihre Anwendungen in Technik und Umwelt: Carl Hanser Verlag; München, Wien- 2004 ISBN 3-446-22884-5
↑ Khaikin, Semyon Emmanuilovich | S. E. Khaikin . Træghedskræfter og vægtløshed. M., 1967. Forlaget "Science". Hovedudgaven af fysisk og matematisk litteratur.
↑ Ulrich Leute. Physik und ihre Anwendungen in Technik und Umwelt: Carl Hanser Verlag; München, Wien- 2004 ISBN 3-446-22884-5
↑ Klaus Dransfeld, Paul Kleine, Georg Michael Kalvius. Physik I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH 2001 ISBN 3-486-25416-2
↑ '