Objektiv funktion

En objektiv funktion er  en reel eller heltalsfunktion af flere variable, der er genstand for optimering ( minimering eller maksimering ) for at løse et eller andet optimeringsproblem. Begrebet bruges i matematisk programmering, operationsforskning , lineær programmering , statistisk beslutningsteori og andre områder af matematik, primært af anvendt karakter, selvom målet med optimering også kan være løsningen af ​​et matematisk problem i sig selv [1] . Ud over den objektive funktion kan variable i optimeringsproblemet være underlagt restriktioner i form af et system af ligheder eller uligheder. I det generelle tilfælde kan objektivfunktionsargumenterne specificeres på vilkårlige sæt.

Eksempler

Glatte funktioner og ligningssystemer

Problemet med at løse ethvert ligningssystem

kan formuleres som et problem med at minimere den objektive funktion

Hvis funktionerne er glatte, kan minimeringsproblemet løses ved gradientmetoder .

For enhver glat objektiv funktion kan man sidestille med partielle afledte med hensyn til alle variable. Den optimale objektivfunktion vil være en af ​​løsningerne til et sådant ligningssystem. I tilfælde af en funktion vil dette være et system af mindste kvadraters (LSM) ligninger . Enhver løsning af det oprindelige system er en løsning af mindste kvadraters system. Hvis det originale system er inkonsistent, så gør LSM-systemet, som altid har en løsning, det muligt at opnå en omtrentlig løsning af det originale system. Antallet af ligninger i LSM-systemet falder sammen med antallet af ukendte, hvilket nogle gange letter løsningen af ​​fælles indledende systemer.

Lineær programmering

Et andet velkendt eksempel på en objektiv funktion er en lineær funktion, der opstår i lineære programmeringsproblemer. I modsætning til den kvadratiske objektivfunktion er optimering af en lineær funktion kun mulig, hvis der er begrænsninger i form af et system af lineære ligheder eller uligheder.

Kombinatorisk optimering

Et typisk eksempel på en kombinatorisk objektivfunktion er den objektive funktion af det rejsende sælgerproblem . Denne funktion er lig med længden af ​​Hamilton-cyklussen på grafen . Det er givet på sættet af grafens toppunktpermutationer [ 2] og bestemmes af grafens kantlængdematrice. Den nøjagtige løsning af sådanne problemer kommer ofte ned til opremsning af muligheder.

Noter

  1. ↑ Målfunktion, matematisk programmering // Mathematical Encyclopedic Dictionary. - M . : "Ugler. encyklopædi" , 1988.
  2. ↑ En sådan permutation en-til-en definerer en Hamiltonsk cyklus for en asymmetrisk matrix af grafkantlængder.

Se også

Litteratur