Taylor-Peano formel

Taylor - Peano formel Lad , være grænsepunktet for sættet og . Hvis funktionen er differentierbar ved punktet , er Taylor-Peano- formlen gyldig for alle $f:{\mathbb C}\to {\mathbb C}$ $z_{0}$ $D_f$ $z_{0}\i D_{f}$ $f$ $n$ $z_{0}$ $z\in D_{f}$

f(z)=\sum \limits _{{k=0}}^{n}{\frac {f^{{(k)}}(z_{0})(z-z_{0})^{ k}}{k!}}+\varepsilon _{n}(z)(z-z_{0})^{n},

(en)

hvor ε n (z) er en kontinuerlig funktion i punktet z 0 og ε n ( z 0 ) = 0. Vi anvender metoden til matematisk induktion . Hvis n = 0, så er udsagnet indlysende for ε n ( z ) = f ( z ) − f ( z 0 ). Antag, at sætningens udsagn er gyldig efter at have erstattet n med n − 1, og at funktionen f er n gange differentierbar i betydningen Fermat-Lagrange i punktet z 0. Ifølge definitionen eksisterer der en n − 1 Fermat-Lagrange differentierbar funktion φ ved punktet z 0 , således at ∀ z ∈ D f ,

$f(z)-f(z_{0})=(z-z_{0})\varphi (z).\quad \quad (2)$

Ved antagelse

$\varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {\varphi ^{(k)}(z_{0})(z-z_{0} )^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1},\quad \quad (3)$

hvor er en funktion kontinuert i punktet z 0 og . Fra ligestilling (2) og (3) får vi: $\varepsilon _{{n-1}}(z)$ $\varepsilon _{{n-1}}(z_{0})=0$

$f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})\left(\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{ (k+1)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0}) ^{n-1}\right)=$

$=f(z_{0})+\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})}{k +1}}{\frac {(z-z_{0})^{k+1}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{ n},$

hvilket svarer til formel (1) for . $\varepsilon _{n}=\varepsilon _{{n-1}}$

Litteratur

A.K.Boyarchuk "Funktioner af en kompleks variabel: teori og praksis" Opslagsbog om højere matematik. T.4 M.: Redaktionel URSS, 2001. - 352s.