Udsving-dissipation teorem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Fluktuations-dissipationssætningen [1] er en statistisk fysiks sætning , der forbinder et systems udsving (deres spektraltæthed ) med dets dissipative egenskaber. PDT er afledt af den antagelse, at systemets reaktion på en lille ekstern handling er af samme karakter som reaktionen på spontane udsving.

Fluktuations-dissipationssætningen gør det muligt at beregne forholdet mellem den molekylære dynamik i et system i en tilstand af termodynamisk ligevægt og den makroskopiske opførsel af systemet observeret i dynamiske målinger. Således kan modeller af systemet på molekylært niveau bruges til kvantitativt at forudsige materialers lineære makroskopiske egenskaber.

Afvigelsen af adfærden for (selv ikke-ligevægt) systemer fra fluktuations-dissipation-sætningen er årsagen til publikationer i førende videnskabelige tidsskrifter. [2]

Ordlyd

Hvis reaktionen på en ekstern påvirkning kan repræsenteres som $x(t)$ $f(t)$

x(t)=\int \alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau

eller

{\tilde x}(\omega )={\tilde \alpha }(\omega ){\tilde f}(\omega)

derefter, ifølge ligning 124.9 fra bindet "Statistical Mechanics" (L. D. Landau og E. M. Lifshits) [3] er den spektrale tæthed af fluktuationer af en termodynamisk størrelse relateret til den imaginære del af den generaliserede modtagelighed som følger: $S_{x}$ $\alpha ''(\omega )=\mathrm {Im} \,{\tilde {\alpha }}(\omega )$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )\coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)

mens den gennemsnitlige kvadratiske fluktuation af den termodynamiske størrelse $\langle x^{2}\rangle$

\langle x^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\hbar \alpha ''(\omega )\coth(\hbar \omega /2k_{B}T) {\frac {d\omega }{2\pi }}

Det er let at se, at i det klassiske tilfælde ( ) bliver formlen $k_{B}T\gg \hbar \omega$

S_{x}(\omega )={\frac {2k_{B}T}{\omega }}\alpha ''(\omega)

og i kvante ( ) $T\højrepil 0$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )

Det er også værd at bemærke, at da spektraltætheden af en stationær proces skal være jævn, anvendes der ofte i stedet for spektraltætheden ensidig spektraltæthed , som kun er defineret for den positive frekvenshalvakse. En sådan spektral tæthed er allerede integreret fra til . $S_{x}$ $S_{x}^{+}=2S_{x}$ $0$ $\infty$

Eksempler

Brownsk bevægelse

Einstein bemærkede i sit papir om Brownsk bevægelse ( 1905 ), at de samme tilfældige kræfter, der forårsager tilfældig gang i Brownsk bevægelse, også forårsager viskøs friktion, der virker på partikler, når de bevæger sig gennem en væske. Med andre ord er fluktuationer i partiklernes koordinater i forhold til deres hvileposition af samme karakter som den dissipative friktionskraft, der skal overvindes for at ændre systemet i en bestemt retning.

Ud fra sine observationer, ved hjælp af metoderne i statistisk fysik, udledte han en uventet forbindelse mellem systemets parametre - Einstein-Smoluchowski-relationen :

D={\mu \,k_{B}T}

relaterer D , diffusionskoefficienten , og μ , partiklens mobilitet ( μ er udtrykt som forholdet mellem partiklens hastighed og den påførte kraft, μ = v d / F ), er Boltzmann-konstanten , og T er den absolutte temperatur . $k_{B}$

Nyquist formel

I 1928 opdagede John B. Johnson og Harry Nyquist forklarede fænomenet termisk støj . Hvis der ikke strømmer strøm gennem den elektriske modstand, afhænger RMS-spændingen af modstanden og målebåndbredden : $R$ $k_{B}T$ $\Delta \nu$

\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu

. Konklusion

I elektriske ledere er de mest stabile fluktuationer dem, der fører til udseendet af stående bølger . Antallet af stående elektromagnetiske bølger med en frekvens fra til i en leder af længde , under hensyntagen til polarisering, er lig med . Vi antager, at hver stående bølge har en energi svarende til energien fra en harmonisk oscillator. Så vil energien af stående bølger med frekvens fra til være . Effekten pr. længdeenhed af kæden er . Al energien fra fluktuationsstrømmene bliver igen til varme ved modstanden. Effekttabet pr. længdeenhed af en leder med modstand i henhold til Joule-Lenz-loven er , hvor er middelkvadraten af fluktuationen EMF for bølger med en frekvens på . Vi får Nyquist-formlen [4] . $\nu$ $\nu +d\nu$ $L$ $dn(\nu )=2\cdot {\frac {2Ld\nu}{c))$ $k_{B}T$ $\nu$ $\nu +d\nu$ $dE(\nu )=4\cdot {\frac {L}{c}}d\nu k_{B}T$ $dW={\frac {dE(\nu )}{\frac {L}{c}}}=4k_{B}Td\nu$ $R$ ${\frac {dW(\nu)}{d\nu}}={\frac {\langle {V^{2}}\rangle (\nu)}{R}}$ $\langle V^{2}\rangle$ $\nu$ $\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu$

Litteratur

↑ Herbert B. Callen og Theodore A. Welton. "Irreversibilitet og generaliseret støj", Phys. Rev. 83 , 34 (1951) doi : 10.1103/PhysRev.83.34
↑ Mizuno D. et al . "Nonequilibrium Mechanics of Active Cytoskeletal Networks", Science 315 , 370 (2007) doi : 10.1126/science.1134404
↑ Landau L. D. , Lifshits E. M. Statistisk fysik. Del 1. - Udgave 5. — M .: Fizmatlit , 2001. — 616 s. - (" Teoretisk fysik ", bind V). — ISBN 5-9221-0054-8 .
↑ Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Kursus i statistisk fysik. - M., Højere skole, 1969. - s. 189