Bloch ligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. januar 2017; checks kræver 5 redigeringer .

Makroskopiske ligninger brugt til at beregne kernemagnetiseringen M = ( M x , M y , M z ) som funktion af tiden med relaksationstiderne T 1 og T 2 . De er meget udbredt i sådanne grene af fysik som NMR , MRI og EPR . Opkaldt efter den nobelprisvindende fysiker Felix Bloch , som introducerede dem første gang i 1946 [1] . I litteraturen omtales de nogle gange som bevægelsesligningerne for nuklear magnetisering.

Ligninger i laboratoriets (stationære) koordinatsystem

Lad M ( t ) = ( M x ( t ), M y ( t ), M z ( t )) være kernemagnetiseringen. Så har Bloch-ligningerne følgende form:

{\frac {dM_{x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\ gange \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_{y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\ gange \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_{z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\ gange \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}

her er γ det gyromagnetiske forhold , og B ( t ) = ( B x ( t ), B y ( t ), B 0 + Δ B z (t)) er den magnetiske feltstyrke på kernen. Z-komponenten af vektoren B er summen af en konstant ( B 0 ) og en tidsvarierende Δ B z (t), der især anvendes til den rumlige opløsning af NMR-signalet. × er tegnet for krydsproduktet af vektorer. M 0 - stationær værdi af kernemagnetiseringen (for eksempel ved t → ∞) langs det eksterne påførte felt.

Fysisk begrundelse

Blochs ligninger er fænomenologiske . I fravær af afslapning (det vil sige ved T 1 og T 2 → ∞), forenkles Bloch-ligningerne til:

{\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\ gange \mathbf {B} (t))_{x))

{\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\ gange \mathbf {B} (t))_{y))

{\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\ gange \mathbf {B} (t))_{z))

eller i vektornotation:

{\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt))=\gamma \mathbf {M} (t)\ gange \mathbf {B} (t)

Dette er ligningen for Larmor-præcessionen af kernemagnetiseringen M omkring et eksternt påført felt B.

Medlemmer

\left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z }-M_{0}}{T_{1}}}\right)

svarer til processen med langsgående og tværgående relaksation af kernemagnetiseringen M .

Blochs ligninger er makroskopiske : de er bevægelsesligningerne for den makroskopiske kernemagnetisering, som kan opnås ved at tilføje de individuelle kernemagnetiske momenter af en prøve. De er ikke egnede til at beskrive opførselen af hvert magnetisk moment.

Alternativ form for Bloch-ligningerne

Efter åbning af krydsproduktets beslag og indføring af M xy , B xy iht

M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ og }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}

, vi får

{\frac {dM_{xy}(t)}{dt))=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_ {xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}

{\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i\gamma \left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)))-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}

Her er i = √(-1) og : . ${\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}$

De reelle og imaginære dele af M xy svarer til M x og M y . M xy omtales også nogle gange som tværgående kernemagnetisering .

Blochs ligninger i et roterende koordinatsystem

I fravær af afslapning ( T 1 og T 2 → ∞) og et konstant eksternt felt rettet langs z-aksen ( B ( t ) = (0, 0, B 0 ), er løsningerne af Bloch-ligningerne

{\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t))

M_{z}(t)=M_{0}={\text{const))

Således roterer den tværgående magnetisering M xy omkring z-aksen med en vinkelfrekvens ω 0 = γ B 0 mod uret. Den langsgående magnetisering Mz forbliver konstant i tid. Hvis vi skifter til et koordinatsystem, der roterer med en frekvens Ω (hvis valget kan bestemmes, for eksempel af frekvensen af et eksternt variabelt felt ΔВ ), vil løsningen i det blive repræsenteret som:

M_{z}'(t)=M_{z}(t)

M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)

Bevægelsesligninger af tværgående magnetisering i et roterende koordinatsystem

Ved at erstatte udtrykket fra det foregående afsnit får vi:

{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{ dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}=e^{ +i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'

Bloch-ligningerne i et roterende koordinatsystem har formen:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy }(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}\right]+ i\Omega M_{xy}'=\\&=\venstre[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z }(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\ højre]+i\Omega M_{xy}'=\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}'(t)-M_{z}'(t)B_{ xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}

Under hensyntagen til den tidligere accepterede repræsentation af magnetfeltstyrken som summen af de konstante og variable komponenter ( B z ′( t ) = B z ( t ) = B 0 + Δ B z ( t )), tager ligningerne endelig form:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\ Delta B_{z}(t))-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}}=\\&=-i\gamma (t)B_{0}M_{xy}'-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\ gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2))}\\&=i(\ Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t) M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\\end{aligned}}

Vilkår i højre side:

i (Ω - ω) M xy ′( t ) - Larmorrotation i et koordinatsystem, der roterer med vinkelfrekvensen Ω i forhold til laboratoriet. Vender til nul ved Ω = ω 0 .
- i γ Δ B z ( t ) M xy ′( t ) bestemmer indflydelsen af magnetfeltets inhomogenitet langs z-aksen (afhængig af Δ B z ( t )) på den tværgående kernemagnetisering.
i γ Δ B xy ′( t ) M z ( t ) bestemmer adfærden af den tværgående magnetisering, når et vekslende tværgående magnetfelt (Δ B xy ′( t )) påføres kernemagnetiseringen. Bruges til at beskrive virkningerne af pulseret NMR .
- M xy ′( t ) / T 2 beskriver faldet i kohærensen af den tværgående magnetisering med tiden.

Simple løsninger til Bloch-ligningerne

Afslapning af den tværgående kernemagnetisering M xy

Formode:

Det eksterne magnetfelt er konstant og påført langs z-aksen ( B z ′( t ) = B z ( t ) = B 0 ). Så er ω 0 = γ B 0 , Δ B z ( t ) = 0 og B xy ' = 0.
Koordinatsystemet roterer i forhold til laboratoriet med en frekvens Ω = ω 0 .

Derefter, i et roterende koordinatsystem, simplificeres bevægelsesligningen for den tværgående magnetisering M xy '( t ) til:

{\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2))))

Løsning til denne ligning:

M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}

hvor M xy '(0) er den tværgående magnetisering ved t = 0. Når RCS-frekvensen nøjagtigt falder sammen med Larmor-frekvensen (Ω = ω 0 ), er den tværgående magnetiseringsvektor konstant.

π/2 og π impulser

Lad os lade som om:

Det langsgående magnetfelt er konstant og påført langs z-aksen. Det vil sige, Bz ′( t ) = Bz ( t ) = B 0 , ω 0 = γ B 0 og Δ Bz ( t ) = 0.
På tidspunktet t = 0 påføres prøven et vekslende tværgående magnetfelt med en frekvens ω 0 .
Koordinatsystemet roterer i forhold til laboratoriet med en frekvens Ω = ω 0 .

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\ gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}}\end{aligned}}

Ved at variere påføringstiden for vekselfeltet er det muligt at opnå præcession af kernemagnetiseringen gennem vinklerne π/2 og π. Som et resultat kan man for eksempel observere spin-ekkoeffekten .

Afslapning af den langsgående kernemagnetisering M z

Litteratur

Charles Kittel , Introduction to Solid State Physics , John Wiley & Sons, 8. udgave (2004), ISBN 978-0-471-41526-8 . Kapitel 13 handler om magnetisk resonans.

Abraham A. Nuclear magnetism, M.: Izdatelstvo inostr. lit., 1963.
Slikter Ch. Fundamentals of theory of magnetic resonance, M.: Mir, 1981.