Steinhart-Hart ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. december 2020; checks kræver 4 redigeringer .

Steinhart-Hart-ligningen er en matematisk model, der beskriver modstanden af halvledertermistorer med en negativ temperaturkoefficient for elektrisk modstand som funktion af temperaturen.

I sin mest generelle form er denne ligning:

{{\frac {1}{T}}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\ln ^{i}(R)=}

{=a_{0}+a_{1}\ln(R)+a_{2}\ln ^{2}(R)+a_{3}\ln ^{3}(R)+a_{ 4}\ln ^{4}(R)+\ldots }

hvor: - absolut temperatur (i Kelvin );

T

R

- modstand ved temperatur (i ohm );

T

a_{i}

- koefficienter for Steinhart-Hart-ligningen afhængigt af termistorens indledende modstand, dens type.

I praktiske beregninger negligeres summen og efterfølgende vilkår normalt, da de som regel yder et ubetydeligt bidrag til nøjagtigheden af resultatet af beregninger i henhold til ligningen. $a_{2}\ln ^{2}(R)$ ${\displaystyle {a_{4}\ln ^{4}(R)+\ldots ))$

Så ligningen er normalt skrevet sådan:

{1 \over T}=A+B\ln(R)+C[\ln(R)]^{3},

hvor

A=a_{0},

B=a_{1},

C=a_{3}.

Koefficienterne , , afhænger af termistorens parametre og af det temperaturområde, hvori denne ligning giver tilstrækkelig nøjagtighed til praktisk anvendelse. $EN$ $B$ $C$

Omvendt ligning

For at beregne modstanden af en termistor ved en given temperatur bruges den omvendte Steinhart-Hart-ligning:

R=\exp \left({\sqrt[{3}]{y-{x \over 2))}-{\sqrt[{3}]{y+{x \over 2))}\right ),

hvor

{\begin{aligned}x&={\frac {1}{C}}\left(A-{\frac {1}{T}}\right),\\y&={\sqrt {\left ({B \over 3C}\right)^{3}+\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}

Eksperimentel bestemmelse af koefficienterne for Steinhart-Hart-ligningen

Hvis koefficienterne for ligningen er ukendte for en bestemt termistor, så kan de bestemmes eksperimentelt ud fra tre termistormodstande ved tre forskellige temperaturer.

Koefficienterne findes som løsninger til et system af tre ligninger:

{\begin{bmatrix}1&\ln \left(R_{1}\right)&\ln ^{3}\left(R_{1}\right)\\1&\ln \left(R_{2 }\right)&\ln ^{3}\left(R_{2}\right)\\1&\ln \left(R_{3}\right)&\ln ^{3}\left(R_{3} \right)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{T_{1}}}\\ {\frac {1}{T_{2}}}\\{\frac {1}{T_{3}}}\end{bmatrix}}

hvor , og er modstandsværdierne ved henholdsvis temperatur , og . $R_{1}$ $R_{2}$ ${\displaystyle R_{3))$ $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{3}$

Substitutioner og løsning af systemet:

{\begin{aligned}L_{1}&=\ln \left(R_{1}\right),\;L_{2}=\ln \left(R_{2}\right),\; L_{3}=\ln \venstre(R_{3}\right)\\Y_{1}&={\frac {1}{T_{1}}},\;Y_{2}={\frac { 1}{T_{2}}},\;Y_{3}={\frac {1}{T_{3}}}\\\gamma _{2}&={\frac {Y_{2}-Y_ {1}}{L_{2}-L_{1}}},\;\gamma _{3}={\frac {Y_{3}-Y_{1}}{L_{3}-L_{1} }}\\\Rightarrow C&=\left({\frac {\gamma _{3}-\gamma _{2}}{L_{3}-L_{2}}}\right)\left(L_{1 }+L_{2}+L_{3}\right)^{-1}\\\Rightarrow B&=\gamma _{2}-C\left(L_{1}^{2}+L_{1}L_ {2}+L_{2}^{2}\right)\\\Rightarrow A&=Y_{1}-\left(B+L_{1}^{2}C\right)L_{1}\end{ justeret}}

Anvendelse af ligningen

Ligningen giver dig mulighed for at beregne dens temperatur ud fra termistorens målte modstand og tilbage - fra termistorens temperatur til at beregne dens modstand og giver god nøjagtighed over hele driftstemperaturområdet, for eksempel af et termistortermometer.

Koefficienterne inkluderet i Steinhart-Hart-ligningen offentliggøres normalt af termistorproducenter i referencedata for specifikke typer termistorer.

Ruby script til beregning

#!/usr/bin/env rubin puts puts " \t \u2318\u2318 Du bruger Ruby ver. " + RUBY_VERSION + " \t \u2318\u2318" $k = 273 . femten E = ( Matematik :: E ) def ln ( x ) ( ln = Math . log ( x ) ) ende def sqrt ( x ) ( sqrt = Math . sqrt ( x ) ) end def cbrt ( x ) ( cbrt = Math . cbrt ( x ) ) ende def exp ( x ) ( exp = Math . exp ( x ) ) end #---------------------------------------- --------------- ;t1/1=y1)r3,t3,r2,t2,r1,t1(arr_abc--def y2 = 1 / t2 ; y3 = 1 / t3 11 = ln ( r1 ); 12 = ln ( r2 ); l3 = ln ( r3 ) g2 = ( y2 - y1 ) / ( l2 - 11 ) g3 = ( y3 - y1 ) / ( l3 - 11 ) c = (( g3 - g2 ) / ( l2 - l1 )) / ( l1 + l2 + l3 ) b = g2 - c * ( l1 ** 2 + l1 * l2 + l2 ** 2 ) a = y1 - ( b ) + c * 11 ** 2 ) * 11 arr_abc = [ a , b , c ] ende =begynd # Eksempel på indtastning af eksperimentelle data: t1 = 0 + $k; r1 = 32,014e+3t2 = 40 + $k; r2 = 5,372e+3t3 = 70 + $k; r3 = 1,7942e+3 # -------------------------------------- =slut # Beregning: tmp = arr_abc ( t1 , r1 , t2 , r2 , t3 , r3 ) a_t = tmp [ 0 ] ; b_t = tmp [ 1 ] ; c_t = tmp [ 2 ] #sætter "A = #{a_t}, B = #{b_t}, C = #{c_t}" #------------------------ =begynd # Data at kontrollere: t = 55; t = t + $k = slut x = ( a_t - 1 / t ) / c_t y = sqrt (( b_t / ( 3 * c_t )) ** 3 + ( x / 2 ) ** 2 ) #--------------------- # Temperaturmodstandsberegning: r_tmp = exp ( cbrt ( y - ( x / 2 )) - cbrt ( y + ( x / 2 )) ) sætter "T = #{ t - $k } °C, R = #{ ( r_tmp ) . round ( 1 ) } Ω" # Beregn temperatur ud fra modstand: t_r = 1 / ( a_t + b_t * ln ( r_tmp ) + c_t * (( ln ( r_tmp ) . abs ) ** 3 ) ) sætter "R = #{ ( r_tmp ) . round ( 1 ) } Ω, T = # { ( t_r - $k ) . round ( 2 ) } °C" Resultat: T = 55,0°C, R = 3052,2Ω R = 3052,2Ω, T = 55,0°C Fra datablad for EPCOS R/T:4901; B25/100: 3950K — 3,0393 kΩ —

Forfatterne af ligningen

Ligningen er opkaldt efter John S. Steinhart og Stanley R. Hart , som først udgav den i 1968 [1]

Professor Steinhart (1929-2003), Fellow of American Geophysical Union og American Association for the Advancement of Science , var fakultetsmedlem ved University of Wisconsin-Madison fra 1969 til 1991. [2]

Dr. Hart, Senior Fellow ved Woods Hole Oceanographic Institution siden 1989 og medlem af Geological Society of America , American Geophysical Union , Geochemical Society og European Association for Geochemistry [3] , arbejdede sammen med professor Steinhart ved Carnegie Institution of Washington, hvor denne ligning blev foreslået.

Noter

↑ John S. Steinhart, Stanley R. Hart, Calibration curves for thermistors, Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts, bind 15, udgave 4, august 1968, sider 497-503, ISSN 0011-7471, doi : 10.1016-771(471) 68)90057-0 .
↑ Mindebeslutning fra fakultetet ved University of Wisconsin-Madison om professor emeritus John S. Steinharts død . University of Wisconsin (5. april 2004). Hentet 2. juli 2015. Arkiveret fra originalen 10. juni 2010. (ubestemt)
↑ Dr. Stan Hart . Woods Hole Oceanografisk Institution. Hentet 2. juli 2015. Arkiveret fra originalen 5. juni 2009. (ubestemt)