Londons ligning

Londons ligning (i nogle kilder - London-ligningen) etablerer et forhold mellem strøm og magnetfelt i superledere . Den blev først opnået i 1935 af brødrene Fritz og Heinz London [1] . Londons ligning gav den første tilfredsstillende forklaring på Meissner-effekten , henfaldet af magnetfeltet i superledere. Så, i 1953, blev Pippard-ligningen for rene superledere opnået.

London-ligningen

Den fulde betydning af ordensmekanismen i superledning blev først erkendt af den teoretiske fysiker Fritz London [2] . Da London indså, at en elektrodynamisk beskrivelse udelukkende baseret på Maxwells ligninger , i grænsen af nul modstand, uundgåeligt ville forudsige den irreversible opførsel af en ideel leder og ikke ville give en superleders reversible diamagnetisme, introducerede London en yderligere ligning. Formen af denne ligning kan opnås på forskellige måder, for eksempel ved at minimere den frie energi med hensyn til fordelingen af strøm og felt [3] eller ved at antage den absolutte stivhed af superledende bølgefunktioner med hensyn til virkningen af en ekstern Mark; til vores formål er det imidlertid tilstrækkeligt at betragte den som en intuitiv hypotese, der fuldt ud er begrundet i dens succes.

Den af London foreslåede ligning er

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatørnavn {rot} \mathbf {j} +\mathbf {B} =0,

hvor er strømtætheden, er den magnetiske induktion, , m og q er massen og ladningen af superledende strømbærere, og n er tætheden af disse bærere. $\mathbf {j}$ $\mathbf {B}$ $\lambda^2 = \frac{mc^2}{4 \pi nq^2}$

London penetrationsdybde

Ved hjælp af Maxwell-ligningen kan man skrive London-ligningen på formen [4] $\operatorname {rot} \mathbf {B} ={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c))$

\mathbf {B} '+\lambda ^{2}\operatørnavn {rot} \operatørnavn {rot} \mathbf {B} '=0,

hvor B ′ er derivatet af vektor B med hensyn til tiden t . Denne ligning er opfyldt af B = konst. Men en sådan løsning er ikke i overensstemmelse med Meissner-Ochsenfeld effekten, da der skal være et felt B = 0 inde i superlederen Den ekstra løsning viste sig, fordi tidsdifferentieringsoperationen blev anvendt to gange i udledningen. For automatisk at udelukke denne løsning, introducerede Londons hypotesen, at i den sidste ligning skulle den afledede B ′ erstattes af vektoren B selv . Dette giver

\mathbf {B} +\lambda ^{2}\operatørnavn {rot} \operatørnavn {rot} \mathbf {B} =0.

Løsningen af denne ligning i det superledende område med meget større lineære dimensioner er $\lambda$

\mathbf {B} (\xi )=\mathbf {B} (0)\exp {\frac {-\xi }{\lambda )),

hvor er induktionen i en dybde under overfladen. Parameteren har længdedimensionen og kaldes London-penetrationsdybden af magnetfeltet. Det vil sige, at magnetfeltet kun trænger ind i superlederen til en dybde på . Til metaller µm. $\mathbf{B}(\xi)$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ ${\displaystyle \lambda \sim 10^{-2))$

Naturen af superledning

London-ligningen giver nøglen til at forstå karakteren af superledende bestilling. Introduktion af vektorpotentialet , hvor vi ved hjælp af måleren og betragter en simpelt forbundet superleder når vi frem til London-ligningen i formen $\mathbf {A}$ $\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mathbf {B}$ $\operatørnavn{div} \mathbf{A} = 0$

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} =0.

I nærvær af et vektorpotentiale er det generaliserede momentum af en ladet partikel givet af

\mathbf {P} =\sum \mathbf {p} =2\sum \left(m\mathbf {v} +{\frac {q\mathbf {A} }{c}}\right)

Det gennemsnitlige momentum pr. partikel kan skrives som

{\bar {\mathbf {p} }}={\frac {q}{c}}\venstre({\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j } +\mathbf {A} \right)=0.

Derfor skyldes den superledende orden kondenseringen af strømbærere i en tilstand med det mindst mulige momentum . Samtidig følger det af usikkerhedsprincippet, at den tilsvarende rumlige ordensskala er uendelig, det vil sige, at vi får uendelig "kohærens" og umuligheden af at påvirke elektronsystemet af felter lokaliseret i rummet. $\mathbf{P} = 0$

Londons første ligning

Bevægelsesligningen for en enhedsvolumen af superledende elektroner i et elektrisk felt har formen

nm{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=ne\mathbf {E} ,

hvor , , er henholdsvis koncentrationen, hastigheden og massen af (superledende) elektroner. Ved at introducere overstrømstætheden ifølge , får vi den første Londons ligning: $n$ $\mathbf{v}$ $m$ $\mathbf{j} = ikke \mathbf{v}$

\mathbf {E} ={\frac {d}{dt}}(\Lambda \mathbf {j} ),\quad \Lambda ={\frac {m}{ne^{2}}}.

Anden Londons ligning (afledning)

Lad os bruge Maxwell-ligningerne i formen

\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}

for at finde volumentætheden af den kinetiske energi af superledende elektroner:

\mathbf {W} _{k}={\frac {nmv^{2}}{2}}={\frac {mj^{2}}{2ne^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{8\pi }}(\operatørnavn {rot} \mathbf {H} )^{2},

hvor $\lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi ne^{2}}}.$

Også volumentætheden af magnetisk energi er , så kan den frie energi skrives som ( er fri energi uden et magnetisk felt) integral over superlederens volumen: ${\frac {H^{2}}{8\pi }}$ $F_{0}$

F=F_{0}+{\frac {1}{8\pi }}\int [H^{2}+\lambda ^{2}(\operatørnavn {rot} \mathbf {H} )^ {2}]\,dV.

Den første variation over feltet er lig med

\delta F={\frac {1}{8\pi }}\int [2\mathbf {H} \,\delta \mathbf {H} +2\lambda ^{2}\operatørnavn {rot} \mathbf {H} \operatørnavn {rot} \delta \mathbf {H} ]\,dV={\frac {1}{4\pi }}\int [\mathbf {H} +\lambda ^{2}\ operatørnavn {rot} \operatornavn {rot} \mathbf {H} ]\,\delta \mathbf {H} \,dV-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}\int \operatornavn { div} [\operatørnavn {rot} \mathbf {H} ;\delta \mathbf {H} ]\,dV=0.

Under hensyntagen til, at det andet integral er lig med nul (ifølge Gauss-Ostrogradsky-formlen reduceres det til et integral over overfladen, hvor variationen er sat til nul), har vi

\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatørnavn {rot} \operatørnavn {rot} \mathbf {H} =0,

som sammen med udtrykket for vektorpotentialet , den første Londons ligning og valget af London-måleren giver den nødvendige ligning: $\mathbf {j} =-{\frac {c}{4\pi \lambda ^{2))}\mathbf {A}$ $\operatørnavn {div} (\mathbf {A} )=0$ $\mathbf {A} \mathbf {n} =0$

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatørnavn {rot} \mathbf {J} +\mathbf {B} =0.

Se også

Pippards ligning

Noter

↑ London, F.; H. London. Supralederens elektromagnetiske ligninger // Proc . Roy. soc. (London) : journal. - 1935. - Marts ( bind A149 , nr. 866 ). — S. 71 .
↑ F. London , Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.
↑ P.G. de Gennes , Superledning af metaller og legeringer. Benjamin, New York. 1966 (se oversættelse: M., Mir, 1968).
↑ Sivukhin. DV Almen kursus i fysik. Proc. godtgørelse: For universiteter. I 5 bind T III. Elektricitet. - 4. udgave. - M. : MIPT, 2004. - S. 321–322. — 656 s. — ISBN 5-9221-0227-3 . - ISBN 5-89155-086-5 .

Litteratur

Tilly D.R., Tilly J. Superfluiditet og superledningsevne. — M .: Mir, 1977. — 304 s.