Teknologisk sæt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. april 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Teknologisk sæt er et begreb, der bruges i mikroøkonomi , der formaliserer sættet af alle teknologisk mulige vektorer af nettooutput.

Definition

Lad der være velsignelser i økonomien. I produktionsprocessen forbruges varer fra dem. Lad os betegne vektoren af disse fordele (omkostninger) (dimensionen af vektoren ). Andre varer produceres i produktionsprocessen (dimensionen af vektoren er ). Lad os betegne vektoren for disse varer som . Så kaldes vektoren (dimension - ) nettooutputvektoren . Sættet af alle teknologisk gennemførlige nettooutputvektorer udgør det teknologiske sæt . Faktisk er dette en delmængde af rummet . $N$ $n$ $x$ $n$ $m=Nn$ $m$ $y$ $z=(-x,y)$ $N$ $R^{N}$

Egenskaber

Ikke-tomhed : Teknologisættet er ikke tomt. Ikke-tomhed betyder den grundlæggende mulighed for produktion.
Tilladelse af inaktivitet : nulvektoren tilhører det teknologiske sæt. Denne formelle egenskab betyder, at nul output til nul omkostninger er acceptabelt.
Lukning : teknologisættet indeholder sin egen grænse, og grænsen for enhver sekvens af teknologisk gennemførlige nettooutputvektorer hører også til teknologisættet.
Udgiftsfrihed : hvis en given vektor tilhører det teknologiske sæt, så hører enhver vektor også til den . Det betyder, at formelt kan den samme mængde output produceres til en højere pris. $z$ $z'\leqslant z$
Fravær af et "overflodshorn" : af de ikke-negative nettoudgangsvektorer er det kun nulvektoren, der hører til det teknologiske sæt. Det betyder, at der kræves ikke-nul omkostninger for at producere et produkt i en positiv mængde.
Irreversibilitet : for enhver gyldig vektor hører den modsatte vektor ikke til det teknologiske sæt. Det vil sige, at det er umuligt at producere ressourcer fra output i samme mængde, som de bruges til at producere dette produkt. $z$ $-z$
Additivitet : Summen af to gyldige vektorer er også en gyldig vektor. Det vil sige, at en kombination af teknologier er tilladt.
Egenskaber forbundet med tilbagevenden til skala af produktion:
- Ikke-stigende skalaer : For enhver , hvis z hører til teknologisættet, så hører det også til teknologisættet. $\lambda \in (0;1)$ $\lambda z$
- Ikke-aftagende skalaforandringer : Hvis z hører til teknologisættet, så hører det også til teknologisættet. $\lambda >1$ $\lambda z$
- Konstant tilbagevenden til skala : samtidig opfyldelse af de to foregående egenskaber, det vil sige, for enhver positiv, hvis tilhører teknologisættet, så hører også til teknologisættet. Egenskaben ved konstant afkast betyder, at det teknologiske sæt er en kegle. $\lambda$ $z$ $\lambda z$

8. Konveksitet : For to tilladte vektorer er alle vektorer også tilladte , hvor . Egenskaben ved konveksitet betyder evnen til at "blande" teknologier. Det er især tilfredsstillet, hvis det teknologiske sæt har egenskaben additivitet og ikke-stigende skalaafkast. Desuden er det teknologiske sæt i dette tilfælde en konveks kegle. $z_{1},z_{2}$ $\alpha z_{1}+(1-\alpha )z_{2}$ $0<\alpha \leqslant 1$

Effektiv teknologisk sæt grænse

En tilladt teknologi kaldes effektiv , hvis der ikke er nogen anden tilladt teknologi, der er forskellig fra den . Sættet af effektive teknologier danner den effektive grænse for det teknologiske sæt. $z$ $z'\geqslant z$

Hvis betingelsen om frit forbrug og lukkethed af det teknologiske sæt er opfyldt, så er det umuligt at øge produktionen af en vare uendeligt uden at reducere andres produktion. I dette tilfælde er der for hver tilladt teknologi en effektiv teknologi . I dette tilfælde, i stedet for hele det teknologiske sæt, kan kun dets effektive grænse bruges. Normalt kan den effektive grænse gives af en eller anden produktionsfunktion. $z$ $z'\geqslant z$

Produktionsfunktion

Overvej enkeltproduktteknologier , hvor er en vektor af dimensioner , og er en omkostningsvektor for dimensioner . Overvej et sæt , der inkluderer alle mulige omkostningsvektorer , sådan at der for hver eksisterer , således at nettooutputvektorerne tilhører det teknologiske sæt. $(-x,y)$ $y$ $m=1$ $x$ $n$ $x$ $x$ $x$ $y$ $(-x,y)$

En numerisk funktion på kaldes en produktionsfunktion, hvis værdien for en given omkostningsvektor bestemmer den maksimale værdi af det tilladte output (sådan at nettooutputvektoren (-x, y) tilhører teknologisættet). $f(x)$ $x$ $x$ $f(x)$ $y$

Ethvert punkt på den effektive grænse for det teknologiske sæt kan repræsenteres som , og det omvendte er sandt, hvis det er en stigende funktion (i dette tilfælde den effektive grænseligning). Hvis teknologisættet har frihed til at bruge ejendom og kan beskrives af en produktionsfunktion, så bestemmes teknologisættet ud fra uligheden . $(-x,f(x))$ $f(x)$ $y=f(x)$ $y\leqslant f(x)$

For at det teknologiske sæt kan specificeres ved hjælp af produktionsfunktionen, er det tilstrækkeligt, at for ethvert sæt af gennemførlige output til givne omkostninger , er afgrænset og lukket. Især er denne betingelse opfyldt, hvis det teknologiske sæt opfylder egenskaberne ved lukning, ikke-stigende skalaforrentning og fraværet af et overflødighedshorn. $x$ $F(x)$ $x$

Hvis det teknologiske sæt er konveks, så er produktionsfunktionen konkav og kontinuerlig på indersiden af sættet . Hvis betingelsen om forbrugsfrihed er opfyldt, så er en ikke-faldende funktion (i dette tilfælde følger konveksiteten af det teknologiske sæt også af funktionens konkavitet). Endelig, hvis både betingelsen om fravær af et overflødighedshorn og antageligheden af inaktivitet er opfyldt samtidigt, så . $x$ $f(x)$ $f(0)=0$

Hvis produktionsfunktionen er differentierbar, kan den lokale skalaelasticitet defineres på følgende ækvivalente måder:

$e(x)={\frac {df(\lambda x)}{d\lambda }}\cdot {\frac {\lambda}{f(x)))|_{\lambda =1}= {\frac {f'(x)x}{f(x)}}$

hvor er produktionsfunktionens gradientvektor. $f'(x)$

Efter således at have bestemt skalaens elasticitet, kan det påvises, at hvis det teknologiske sæt har egenskaben konstant skalaafkast, så , hvis faldende afkast til skala, så , hvis stigende afkast, så . $e(x)=1$ $e(x)\leqslant 1$ $e(x)\geqslant 1$

Producerens udfordring

Hvis der er givet en prisvektor , så er produktet producentens fortjeneste. Producentens opgave er at finde en sådan vektor , der ville maksimere profitten for en given prisvektor. Sættet af priser på varer, som dette problem har en løsning på, er angivet med . Det kan påvises, at for et ikke-tomt, lukket teknologisæt med ikke-stigende skalaafkast, har producentens problem en løsning på det sæt af priser , der giver negativ fortjeneste i de såkaldte recessive retninger (disse er teknologisættet vektorer, for hvilke, for enhver ikke-negativ, vektorerne også tilhører teknologisættet). Især hvis sættet af recessive retninger falder sammen med , så eksisterer løsningen for eventuelle positive priser. $s$ $pz$ $z$ $P$ $P$ $z$ $\lambda$ $\lambda z$ ${\displaystyle R_{-}^{N))$

Profitfunktionen defineres som , hvor er løsningen på producentens problem til givne priser (dette er den såkaldte forsyningsfunktion, evt. multivalued). Overskudsfunktionen er positivt homogen (af første grad), det vil sige og kontinuerlig på det indre . Hvis det teknologiske sæt er strengt konveks, så er profitfunktionen også kontinuerligt differentierbar. Hvis det teknologiske sæt er lukket, er profitfunktionen konveks på enhver konveks delmængde af tilladte priser . $\pi (p)$ $pz(p)$ $z(p)$ $\pi (\lambda p)=\lambda \pi (p)$ $P$ $P$

Sætningens funktion (afbildning) er positivt homogen af grad nul. Hvis teknologisættet er strengt konveks, er forsyningsfunktionen enkeltværdi på P og kontinuerlig på indersiden . Hvis en forsyningsfunktion er to gange differentierbar, så er Jacobi-matrixen for denne funktion symmetrisk og ikke-negativ bestemt. $z(p)$ $P$

Hvis det teknologiske sæt er repræsenteret af en produktionsfunktion, så er profit defineret som , hvor er vektoren af priser for produktionsfaktorer , i dette tilfælde prisen på output. Så for enhver intern løsning (det vil sige, der tilhører det indre ) af producentens problem, er marginalproduktet af hver faktor lig med dens relative pris, det vil sige i vektorform . $pf(x)-wx$ $w$ $s$ $x$ $f'(x)=w/p$

Hvis profitfunktionen er givet , som er to gange kontinuerligt differentierbar, konveks og positivt homogen (af første grad) funktion, så er det muligt at gendanne det teknologiske sæt som et sæt indeholdende, for enhver ikke-negativ prisvektor, vektorerne af nettooutput , der tilfredsstiller uligheden . Det kan også vises, at hvis udbudsfunktionen er positivt homogen af grad nul, og matrixen af dens første afledte er kontinuert, symmetrisk og ikke-negativ bestemt, så opfylder den tilsvarende profitfunktion ovenstående krav (det modsatte er også sandt) . $\pi (p)$ $s$ $z$ $pz\leqslant \pi (p)$

Teknologisk sæt

Definition

Egenskaber

Effektiv teknologisk sæt grænse

Produktionsfunktion

Producerens udfordring

Se også