Riemann-Rochs sætning for overflader

Riemann-Roch-sætningen for overflader beskriver dimensionen af lineære systemer på en algebraisk overflade . I den klassiske form blev teoremet først formuleret af Castelnuovo [1] efter foreløbige versioner af Max Noether [2] og Enriques [3] . Udgaven med hensyn til skiver skyldes Hirzebruch.

Udtalelse af sætningen

En form for Riemann-Roch-sætningen siger, at hvis D er en divisor af en ikke-singular projektiv overflade, så

\chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(DK)\,

hvor χ er den holomorfe Euler karakteristisk for , priksymbolet er skæringsindekset for , og K er den kanoniske divisor. Konstanten χ(0) er den holomorfe Euler-karakteristik for trivialbundtet og er lig med 1 + p a , hvor p a er den aritmetiske slægt af overfladen. Til sammenligning siger Riemann-Rochs sætning for en kurve, at . $\chi (D)=\chi (0)+deg(D)$

Noethers formel

Noethers formel siger det

\chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}

hvor χ=χ(0) er den holomorfe Euler-karakteristik, er Chern -tallet og antallet af selvskæringer af den kanoniske klasse K og er den topologiske Euler-karakteristik. Formlen kan bruges til at erstatte termen χ(0) i Riemann-Roch-sætningen i topologiske termer. Dette giver Hirzebruch-Riemann-Roch-sætningen for overflader. $c_{1}^{2}=(KK)$ $e=c_{2}$

Forbindelse med Hirzebruch-Riemann-Roch-sætningen

For overflader Hirzebruch-Riemann-Roch-sætningen er i det væsentlige Riemann-Roch-sætningen for overflader kombineret med Noethers formler. For at se dette skal du huske, at der for en hvilken som helst divisor D på overfladen eksisterer en inverterbar skive L = O( D ), således at det lineære system af divisor D er mere eller mindre rummet af sektioner af L . For overflader er Todd-klassen , og Chern-karakteren af bunken L er simpelthen . Det siger Hirzebruch-Riemann-Roch-sætningen $1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12$ $1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2$

{\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac { 1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1 }{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}

Heldigvis kan formlen omskrives i en klarere form som følger. Først og fremmest, ved at sætte D = 0, får vi det

\chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)

(Noethers formel)

For vendbare skiver (linjebundter) er den anden Chern-klasse nul. Produkterne fra de anden kohomologiklasser kan identificeres med skæringsnumrene i Picard-gruppen , og vi får en mere klassisk version af Riemann-Roch-sætningen for overflader:

\chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2))(DD-DK)

Hvis det ønskes, kan vi bruge Serre-dualitet til at udtrykke som , men i modsætning til i tilfældet med kurver er der generelt ingen nem måde at skrive udtrykket på i en form, der ikke bruger sheaf-kohomologi (selv om det i praksis ofte forsvinder) . $h^{2}(\mathrm {O} (D))$ $h^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $h^{1}(\mathrm {O} (D))$

Tidlige versioner

De tidligste former for Riemann-Roch-sætningen for overflader blev ofte formuleret som uligheder snarere end ligheder, da der ikke var nogen direkte geometrisk beskrivelse af første kohomologigrupper. Et typisk eksempel på formuleringen blev givet af Zariski [4] , som anfører

r\geqslant n-\pi +p_{a}+1-i

hvor

r er dimensionen af det komplette lineære system | D | divisor D (så ) $r=h^{0}(\mathrm {O} (D))-1$
n er den virtuelle grad af divisor D , givet ved antallet af selvskæringer ( D . D )
π er den virtuelle slægt af divisor D , er lig med 1 + (DD + KD)/2
p a — aritmetisk slægt af overfladen $\chi (\mathrm {O} _{F})-1$
i er specificitetsindekset for divisoren D , lig (som ifølge Serra dualitet er lig med ). $dimH^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $dimH^{2}(\mathrm {O} (D))$

Forskellen mellem de to dele af denne ulighed kaldes redundansen s af divisoren D . Sammenligning af denne ulighed med versionen af Riemann-Roch-sætningen med skiver viser, at redundansen af divisor D er givet af ligheden . Divisoren D blev kaldt regulær hvis (eller, med andre ord, hvis alle højkohomologigrupper O( D ) forsvinder) og redundant hvis . $s=dimH^{1}(\mathrm {O} (D))$ $i=s=0$ $s>0$

Noter

↑ Castelnuovo, 1896 .
↑ Noether, 1875 .
↑ Enriques (1894)
↑ Zariski, 1995 , s. 78.

Litteratur

Friedrich Hirzebruch. Topologiske metoder i algebraisk geometri. - Springer, 1978. - ISBN 3-540-03525-7 . - ISBN 0-387-03525-7 . — ISBN 3-540-58663-6 .
Oscar Zariski . Algebraiske overflader. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - (Klassikere i matematik). — ISBN 978-3-540-58658-6 .
Castelnuovo G. Sulle superficie di genere zero // Mem. soc. Det delle Scienze. - 1896. - Bind 3 , nr. 10 .
Max Noether. Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde // Math. Ann .. - 1875. - T. 8 , Nr. 4 . — S. 495–533 . - doi : 10.1007/BF02106598 .