Picards sætning (integralligninger)

Picards sætning (integralligninger) - en sætning om eksistensen og unikheden af en løsning til Fredholm-integralligningen af 1. slags.

En integral Fredholm-ligning af den første slags med en lukket symmetrisk kerne af formen , hvor har en unik løsning i klassen af funktioner, hvis og kun hvis rækken konvergerer. $K(t,s)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $f(t)\i L_{{2}}[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Forklaringer

I formuleringen af sætningen er kernens karakteristiske tal funktionens Fourier -koefficienter med hensyn til denne kernes egenfunktioner: . En symmetrisk kerne kaldes lukket ind, hvis hver funktion , der opfylder ligheden , er lig med nul næsten overalt i intervallet . For en lukket kerne danner dens egenfunktioner et ortogonalt komplet system af funktioner. $\lambda _{{k}}$ $K(t,s)$ $f_{k}=(f,\phi _{{k}})$ $f(t)$ $\phi _{n}(t)$ $\phi _{{n}}(t)=\lambda _{{n}}\int \limits _{{a}}^{{b}}K(t,s)\phi _{{n}} (s)ds$ $K(t,s)$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sigma (t)\i L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\sigma (s)ds=0$ $[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$

Bevis

Antag, at der er en løsning på ligningen . $\phi (t)\i L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$

Lad os finde Fourier-koefficienterne for funktionen i forhold til denne kernes egenfunktioner: . $f(t)$ $\phi _{n}(t)$ $f_{{n}}=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(t)\phi _{{n}}(t)dt=\int \limits _{{a}} ^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds\right\}\phi _{{n}}(t)dt =\int \limits _{{a}}^{{b}}\venstre\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t) dt\right\}\phi (s)ds={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s) \phi (s)ds$

Her bruges i den anden lighed, at på grund af sætningens tilstand , i den fjerde lighed, som på grund af kernens symmetri, . $f(t)=\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t)dt={\frac {1}{\lambda _{n}}}\phi _{ {n}}(r)$

Ligestilling kan omskrives som . Det følger heraf, at tallene er Fourier-koefficienterne for funktionen . I kraft af den velkendte sætning for matematisk analyse er en række kvadrater af disse koefficienter konvergent. $f_{{n}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s) ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ $\phi (t)\i L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Antag tværtimod, at serien konvergerer. Så er der i kraft af Riesz-Fisher-sætningen en unik funktion, for hvilken tallene er Fourier-koefficienter med hensyn til systemet af funktioner , det vil sige, at ligheder gælder for alle . Denne funktion opfylder integralligningen , da den i kraft af selve konstruktionen af funktionerne har de samme Fourier-koefficienter med hensyn til det komplette system af kerneegenfunktioner . Således er funktionerne og identiske i metrikken . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$ $\phi (t)\i L_{{2}}[a,b]$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $n(n=1,2,...)$ $\phi (t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $\phi (t)$ $f(t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $K(t,s)$ $f(t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $L_{{2}}[a,b]$

Litteratur

Krasnov M.L. Integralligninger, Moskva, Nauka, 1975.