Picards sætning (integralligninger) - en sætning om eksistensen og unikheden af en løsning til Fredholm-integralligningen af 1. slags.
En integral Fredholm-ligning af den første slags med en lukket symmetrisk kerne af formen , hvor har en unik løsning i klassen af funktioner, hvis og kun hvis rækken konvergerer. |
I formuleringen af sætningen er kernens karakteristiske tal funktionens Fourier -koefficienter med hensyn til denne kernes egenfunktioner: . En symmetrisk kerne kaldes lukket ind, hvis hver funktion , der opfylder ligheden , er lig med nul næsten overalt i intervallet . For en lukket kerne danner dens egenfunktioner et ortogonalt komplet system af funktioner.
Antag, at der er en løsning på ligningen .
Lad os finde Fourier-koefficienterne for funktionen i forhold til denne kernes egenfunktioner: .
Her bruges i den anden lighed, at på grund af sætningens tilstand , i den fjerde lighed, som på grund af kernens symmetri, .
Ligestilling kan omskrives som . Det følger heraf, at tallene er Fourier-koefficienterne for funktionen . I kraft af den velkendte sætning for matematisk analyse er en række kvadrater af disse koefficienter konvergent.
Antag tværtimod, at serien konvergerer. Så er der i kraft af Riesz-Fisher-sætningen en unik funktion, for hvilken tallene er Fourier-koefficienter med hensyn til systemet af funktioner , det vil sige, at ligheder gælder for alle . Denne funktion opfylder integralligningen , da den i kraft af selve konstruktionen af funktionerne har de samme Fourier-koefficienter med hensyn til det komplette system af kerneegenfunktioner . Således er funktionerne og identiske i metrikken .