Løgnens teorem

Lie -sætningen er en repræsentationssætning for løsbare Lie-algebraer .

Ordlyd

Lad være en endelig -dimensionel repræsentation af en opløselig Lie-algebra over et algebraisk lukket felt med karakteristisk nul. Har så et invariant underrumsflag ; det vil sige for hver og jeg . $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ $\pi ({\mathfrak {g}})$ $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\operatørnavn {codim} V_{i}=i$ ${\displaystyle \pi (X)V_{i}\subset V_{i))$ $X\in {\mathfrak {g))$

Noter

Med andre ord siger sætningen, at man kan vælge et grundlag, således at alle lineære transformationer er givet af øvre trekantede matricer. $V$ $\pi ({\mathfrak {g}})$
- Denne udtalelse generaliserer Frobenius' resultat om, at pendlingsmatricer tillader samtidig triangulering .

Sætningen gælder ikke for algebraisk lukkede felter med ikke-nul karakteristik. Men påstanden om sætningerne bliver sand, hvis dimensionen er mindre end feltets karakteristika. $V$

Konsekvenser

Sætningen gælder for den adjunkte repræsentation af en (endelig-dimensional) opløselig Lie-algebra . Således kan man vælge et grundlag i , med hensyn til hvilket det består af øvre trekantede matricer. $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$
- Det følger af dette, at for enhver , har en nul diagonal; betyder nilpotent. Ifølge Engels teorem betyder det, at det er en nilpotent Lie-algebra; det modsatte er åbenbart sandt. Det vil sige, at en finitdimensional Lie-algebra over et felt med karakteristisk nul kan afgøres, hvis og kun hvis den afledte algebra er nilpotent. $x,y\in {\mathfrak {g}}$ $\operatørnavn {ad} ([x,y])=[\operatørnavn {ad} (x),\operatørnavn {ad} (y)]$ $\operatørnavn {ad} ([x,y])$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $\mathfrak g$ $D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$

Noter

Se også

Engels sætning er en lignende sætning om nilpotente Lie-algebraer.
Lie-Kolchin- sætningen er en lignende sætning om opløselige algebraiske grupper.