Lagranges sætning (talteori)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2020; checks kræver 2 redigeringer .

I talteorien er Lagranges sætning et udsagn, opkaldt efter Joseph-Louis Lagrange, om de betingelser, hvorunder værdien af et polynomium med heltalskoefficienter kan være et multiplum af et fast primtal .

Ordlyd

Hvis er et primtal , er et polynomium af grad med heltalskoefficienter , så [1] : $s$ $f(x)$ $n$

eller alle koefficienter er multipla $f(x)$ $p;$
eller sammenligningen har højst løsninger. $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ $n$

Noter

Hvis alle koefficienter er multipla , så er enhver værdi en løsning på den givne sammenligning. $f(x)$ $p,$ $x$
Enkelheden af et modul er afgørende; for et sammensat modul er sætningen generelt set ikke sand. For eksempel, sammenligning: har 4 løsninger [2] : $s$ $x^{2}-1\equiv 0{\pmod {8}}$ $x\equiv 1;3;5;7{\pmod {8)).$

Bevis for Lagranges sætning

Lade være et polynomium over ringen opnået ved at erstatte hver koefficient med den tilsvarende restklasse modulo $g(x)$ $\mathbb {Z} /p$ $f(x)$ $s.$

Lemma 1. er deleligt med hvis og kun hvis Bevis . If er deleligt med derefter og falder efter konstruktion i samme klasse af rester, som det er i nulklassen. Og omvendt, hvis den beregning giver et resultat fra en restklasse, der indeholder dvs. delelig med ■ $f(a)$ $s$ $g(a)=0.$ $f(a)$ $p,$ $g(a)$ $p,$ $g(a)=0,$ $f(a)$ $p,$ $s.$

Lemma 2. Et polynomium , hvis det ikke er et nulpolynomium, kan ikke have flere rødder. Bevis. Da er et primtal, er et felt , og et polynomium, der ikke er nul, af grad i ethvert felt har højst rødder, fordi hver rod tilføjer et monomial til udvidelsen af polynomiet ■ $g(x),$ $n$ $s$ $\mathbb {Z} /p$ $n$ $n$ $r$ $(xr).$

Bevis for sætningen . Hvis er et nulpolynomium, betyder dette ifølge dets konstruktion, at alle koefficienter er multipla . Ellers følger det af det første lemma, at antallet af løsninger af ligningen, der er uforlignelige i absolut værdi, falder sammen med antallet af rødder af polynomiet som ifølge andet lemma ikke overstiger ■ $g(x)$ $f(x)$ $s.$ $n$ $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ $g(x).$ $n.$

Variationer og generaliseringer

Lagranges sætning er gyldig ikke kun for polynomier over ringen af heltal, men for polynomier over ethvert andet integritetsdomæne [3] . ${\mathbb {Z}),$

Noter

↑ Vinogradov, 1952 , s. 60.
↑ Davenport, 1965 , s. 55.
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , s. 174.

Litteratur

Vinogradov I.M. Fundamentals af talteori. - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 60-65. - 180 s.
Davenport G. Højere aritmetik / udg. Yu. V. Linnik , oversættelse. B. Z. Moroz - M . : Nauka , 1965. - S. 54-55. — 176 s.
Lagrange-sætning // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 174.