Carathéodory-Fejer-sætning

Carathéodory -Fejer- sætning :

Lade

{\displaystyle P(z)=~c_{0}+~c_{1}z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1))

polynomium ,. _ Der er kun én rationel funktion $P\not \equiv 0$

R(z)=R(z,~c_{0},~c_{1},\ldots,~c_{n-1})

venlig

$R(z)=\lambda {{\bar {\alpha }}_{n-1}+{\bar {\alpha }}_{n-2}z+\ldots +{\bar {\alpha }}_{0}z^{n-1} \over \alpha _{0}+\alpha _{1}z+\ldots +\alpha _{n-1}z^{n-1}},\ \lambda >0,$

regelmæssig i og har i sin ekspansion i Maclaurin-serien de første koefficienter lig med hhv . Denne funktion, og kun den, implementerer den mindste værdi $\left|z\right|\leqslant 1$ $n$ ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1))$

M_{f}=\sup _{\left|z\right|<1}\left|f(z)\right|

i klassen af alle funktioner regulært i cirklen af formen $\left|z\right|<1$ $f(z)$

f(z)=P(z)+~a_{n}z^{n}+\ldots ,

og den angivne mindste værdi er

\lambda =\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})

Tallet er lig med den største positive rod af ligningen af th grad $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ $2n$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-1}\\0&-\lambda &\ldots &0&0&c_{0}&\ldots &c_{ n-2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\0&0&\ldots &-\lambda &0&0&\ldots &c_{0}\\{\bar {c_{0}}}&0&\ldots &0&-\lambda &0&\ldots &0\\{\bar {c_{1}}}&{\bar {c_{0}}}&\ldots &0&0&-\lambda &\ ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\bar {c}}_{n-1}&{\bar {c}} _{n-2}&\ldots &{\bar {c}}_{0}&0&0&\ldots &-\lambda \end{vmatrix}}

Hvis det er reelle tal , så er de den største af de absolutte værdier af rødderne af ligningen for den th grad ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1))$ $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ $n$

{\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}\\0&-\lambda &\ldots &c_{0}&c_{1}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots & \ldots \\c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-2}&c_{n-1}-\lambda \end{vmatrix}}=0

Litteratur

Carathéodory C., Fejer L. Rend. Circolo måtte. Palermo, - 1911, v. 32, s. 218-239.
Goluzin G. M. Geometrisk teori om funktioner af en kompleks variabel, 2. udgave, - M. , 1966.