Carathéodory-Toeplitz sætning

Carathéodory-Toeplitz-sætningen er en sætning i matematisk analyse opkaldt efter matematikerne Constantin Carathéodory og Otto Toeplitz :

Lad være enhedscirklen i det komplekse plan $\Delta :=\{z\,:\,|z|<1\}$ $\mathbb {C} .$

Mættet af alle funktioner med en positiv reel del og en normalisering , der kortlægger en cirkel til højre halvplan, kaldes Carathéodory-klassen og betegnes med $h(z)$ $\Delta$ $h(0)=1,$ $\Delta$ $C.$

Carathéodory og Toeplitz løste problemet med nøjagtig beskrivelse af værdisættet af koefficientsystemet, hvor på klassen $(\{h\}_{1},\ldots,\{h\}_{n}),$ $n\in \mathbb {N} ,$ $C.$

Sættet af værdier af koefficientsystemet på klassen er et lukket konveks afgrænset sæt af punkter af dimensionelt komplekst euklidisk rum, for hvilket determinanterne $(\{h\}_{1},\ldots,\{h\}_{n}),$ $n\in {\mathbb N}$ $C$ $K_n$ $n$ ${\mathbb C}^{n}$

\det {\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k)),\qquad 1\leqslant k\leqslant n,

hvor

a_{ii}=2,\qquad a_{ij}=\{h\}_{ji},\quad j>i,\qquad a_{ji}={\overline {a_{ij))} ,\quadj<i,

enten er alle positive, eller er positive op til et eller andet tal, hvorfra de er lig med nul. Sidstnævnte tilfælde svarer til, at punktet hører til grænsen af koefficientlegemet Hvert grænsepunkt i denne krop svarer til kun én funktion af klassen, som har form af en konveks lineær kombination $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n})$ ${\displaystyle \partial K_{n))$ $K_{n}.$ $C,$

h^{(k)}(z)=\sum _{\nu =1}^{k}\alpha _{\nu }{\frac {1+e^{i\varphi _{\nu }}z}{1-e^{i\,\varphi _{\nu }}z}}

med koefficienter og og for $\alpha _{\nu },$ $1\leqslant k\leqslant n$ ${\displaystyle \varphi _{\nu }\neq \varphi _{\mu ))$ $\mu \neq \nu ,$ $\mu ,\nu =1,\ldots ,n.$

Se også

Carathéodory-Fejer-sætningen .

Litteratur

Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Måtte. di~Palermo. 1911. V.~32. P. ~193-217.
Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Måtte. di~Palermo. 1911. V.~32. P. ~191-192.