Gromov kompaktitetssætning (Riemannsk geometri)

Gromovs kompakthedsteorem eller Gromovs valgsætning siger, at sættet af Riemann-manifolder af en given dimension med Ricci-krumning ≥ c og diameter ≤ D er relativt kompakt i Gromov–Hausdorff-metrikken .

Historie

Sætningen blev bevist af Gromov , [1] Biskop-Gromov uligheden er brugt i beviset .

Udseendet af denne teorem foranledigede undersøgelsen af Alexandrov-rum med krumning afgrænset nedenfor i dimensioner 3 og højere og senere generaliserede rum med Ricci-krumning afgrænset nedenfor.

Variationer og generaliseringer

Sætningen er en generalisering af Myers' sætning .

Gromovs sætning er en konsekvens af følgende påstand.

Enhver universelt fuldstændig afgrænset familie af metriske rum er relativt kompakt i Gromov-Hausdorff-metrikken.
- En familie af metriske rum siges at være universelt fuldstændigt afgrænset, hvis der for nogen eksisterer et positivt heltal , således at ethvert mellemrum fra tillader et -netværk på højst punkter. $x$ $\varepsilon >0$ $N(\varepsilon)$ $x$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon)$

Se også

Blaschkes valgsætning

Noter

↑ Gromov, Mikhael (1981), Structures métriques pour les variétés riemanniennes , vol. 1, Textes Mathématiques [matematiske tekster], Paris: CEDIC, ISBN 2-7124-0714-8

Litteratur

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Metrisk geometri kursus. - Moskva-Izhevsk: Institut for computerforskning, 2004. - 512 s. — ISBN 5-93972-300-4 .