Birchs sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. maj 2022; checks kræver 4 redigeringer .

Birchs teorem er opkaldt efter den britiske matematiker Brian John Birch . Sætningen er et udsagn om eksistensen og repræsentativiteten af nuller af former med ulige grader.

Udtalelse af Birchs sætning

Lad K være et algebraisk talfelt , henholdsvis k , l og n naturlige tal , ulige naturlige tal og homogene polynomier med koefficienter fra K grader i n variable . Så er der et antal sådan ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k))$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k))$ ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k))$ $\psi (r_{1},\dots ,r_{k},l,K)$

n\geqslant \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)

der er et l - dimensionelt vektorunderrum V af K n således, at

f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0{\text{ for alle }}x\i V.

Noter

Beviset for sætningen udføres ved metoden matematisk induktion på den maksimale grad af former . Væsentligt for beviset er et specialtilfælde, som kan bevises ved at anvende Hardy-Littlewood cirkelmetoden , en sætning, der siger, at hvis n er stor nok og r er ulige, så er ligningen ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k))$

c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,\ i =1,\ldots ,n

har en løsning i heltal , hvor ikke alle variable er 0. $x_1,\prikker,x_n$

Betingelsen om, at r er ulige , er nødvendig, fordi lige-ordensformer, såsom positiv-bestemte kvadratiske former , kun kan have 0 ved oprindelsen.

Litteratur

BJ Birch. Homogene former af ulige grad i et stort antal variable // Mathematika . - 1957. - T. 4 . - doi : 10.1112/S0025579300001145 .