Brun-Tichmarsh-sætning

Brun-Tichmarsh-sætningen er et udsagn i analytisk talteori , der definerer en øvre grænse for fordelingen af aritmetiske progressioner af primtal . Det bærer navnet på matematikerne Viggo Brun og Edward Charles Tichmarsh .

Sætningen siger, at hvis lig med antallet af primtal , der kan sammenlignes med modulo ved , så: $\pi (x;q,a)$ $s$ $-en$ $q$ $p\leqslant x$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q)))

for alle . $q<x$

Historie

Sætningen blev bevist ved hjælp af sigtemetoder Montgomery og Vaughn i 1973 [1] . Et tidligere resultat af Brun og Tichmarsh er en svagere version af denne ulighed (med en ekstra faktor ). $1+o(1)$

Buffs

Hvis relativt lille, det vil sige , så er der en bedre grænse: $q$ $q\leqslant x^{9/20}$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8)))))

Dette blev vist af Motohashi [2] , som brugte den bilineære struktur i restleddet af Selberg-sien , opdaget af ham selv. Senere blev ideen om at bruge strukturer i resten af sigten, takket være udvidelser af den kombinatoriske sigte af H. Iwaniec , udviklet til hovedmetoden for analytisk talteori.

Sammenligning med Dirichlets sætning

I modsætning til Brun-Tichmarsh- sætningen giver Dirichlet-sætningen om primtal i aritmetisk progression et asymptotisk estimat, som kan udtrykkes i formen:

\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\ log x}}\right)}\right)

men dette skøn kan kun bevises under stærkere restriktioner for konstanten , og dette er Siegel-Wolfitz-sætningen . ${\displaystyle q<(\log x)^{c))$ $c$

Litteratur

Yoichi Motohashi. Sigtemetoder og primtalsteori. - Tata IFR og Springer-Verlag, 1983. - ISBN 3-540-12281-8 .
Christopher Hooley. Anvendelser af sigtemetoder til talteorien. - Cambridge University Press, 1976. - S. 10. - ISBN 0-521-20915-3 .
H. Mikawa. Encyclopedia of Mathematics. — Springer. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
H.L. Montgomery, R.C. Vaughan. Den store si // Mathematica. - 1973. - T. 20 . - S. 119-134 . - doi : 10.1112/s0025579300004708 .