Maclaurin sfæroid

En Maclaurin sfæroid er en oblate sfæroid , der opstår, når et selvgraviterende væskelegeme med en ensartet tæthedsfordeling roterer med en konstant vinkelhastighed. Sfæroiden er opkaldt efter den skotske matematiker Colin Maclaurin , som foreslog denne form for Jorden i 1742 [1] . Faktisk er Jorden meget mindre fladtrykt, da den ikke er homogen og har en tæt jernkerne. Maclaurin-sfæroiden betragtes som den enkleste model af en ellipseformet omdrejningsfigur i ligevægt, da den har en konstant tæthed.

Maclaurins formel

For en oblate sfæroid med en større halvakse og en mindre halvakse er vinkelhastigheden givet af Maclaurin-formlen $-en$ $c$ $\Omega$

{\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}} (3-2e^{2})\arcsin e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},

hvor er excentriciteten af sfæroidens meridionale sektion, er densiteten, er gravitationskonstanten . Formlen forudsiger to mulige typer af ligevægtsfigurer ved , den ene er en kugle ( ), den anden er en flad kugle ( ). $e$ $\rho$ $G$ $\Omega \rightarrow 0$ $e\rightarrow 0$ $e\rightarrow 1$

Den maksimale vinkelhastighed opstår ved excentricitet , værdien af kvadratet af den maksimale vinkelhastighed er lig med , det vil sige over denne hastighed eksisterer ligevægtstallet ikke. Dette modsiger observationsdataene. Årsagen til modsigelsen kan være tilstedeværelsen af to urealistiske antagelser: Den ene er, at tæthedsfordelingen er ensartet, den anden er, at overfladens form er en simpel quadric . $e=0{,}92995$ $\Omega ^{2}=0{,}449331\pi G\rho$

Vinkelmomentet af en Maclaurin sfæroid er givet af $L$

{\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a))))}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac { a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,

hvor er sfæroidens masse, er den gennemsnitlige radius, det vil sige radius af en kugle med samme volumen som sfæroiden. I et enklere udtryk [3] ${\displaystyle M={\frac {4\pi }{3}}\rho a^{3}{\sqrt {1-e^{2))))$ ${\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}$

L={\frac {2}{5}}M\Omega a^{2}.

Kinetisk energi af sfæroiden [3]

K={\frac {1}{5}}M\Omega ^{2}a^{2}.

Bæredygtighed

For en Maclaurin-sfæroid med en excentricitet på mere end 0,812670 [3] har Jacobi triaksiale ellipsoide med samme vinkelmomentum en lavere total energi. Hvis en sådan ellipsoide består af en tyktflydende væske og ikke oplever forstyrrelser, der kan bryde rotationssymmetrien, så vil den strække sig ud og tage form af en Jacobi-ellipsoide, mens en del af energien vil gå i en termisk form. For en lignende sfæroid fra en inviscid væske vil forstyrrelser føre til udæmpede svingninger.

Maclaurin-sfæroiden med en excentricitet på mere end 0,952887 [3] er dynamisk ustabil. Selvom genstanden består af en inviscid væske og ikke taber energi, vil små forstyrrelser vokse eksponentielt. Dynamisk ustabilitet indebærer sekulær ustabilitet [4] .

Noter

↑ Maclaurin C. A Treatise of Fluxions: In Two Books. 1. bind. 1. Ruddimans, 1742.
↑ Chandrasekhar S. Ellipsoide ligevægtsfigurer. Vol. 10. New Haven: Yale University Press, 1969.
↑ 1 2 3 4 Poisson E., Will C. Tyngdekraft : Newtonsk, Post-Newtonsk, Relativistisk . - Cambridge University Press , 2014. - S. 102-104. — ISBN 1139952390 . Arkiveret 23. oktober 2017 på Wayback Machine
↑ Lyttleton RA Stabiliteten af roterende flydende masser . - Cambridge University Press , 1953. - ISBN 9781316529911 .