Slater determinant

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. april 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Slater - determinanten eller Slater-determinanten er en bølgefunktion af et kvantemekanisk system med mange partikler, der er antisymmetrisk med hensyn til permutationen af partikler og er bygget af enkeltpartikelfunktioner.

Slater-determinanten giver en enkel måde at konstruere den antisymmetriske funktion, der er nødvendig for at beskrive systemer, der består af mange fermioner . For at gøre dette skal du bruge egenskaben for determinanten til at ændre fortegn, når du omarrangerer kolonner.

Sager

To-partikel tilfælde

Den enkleste måde at tilnærme en mange-partikelbølgefunktion er at tage produktet af velvalgte enkeltpartikelbølgefunktioner. For tilfældet med to partikler får vi

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})=\psi _{1}({\mathbf {r}}_{1})\psi _ {2}({\mathbf {r}}_{2}).

Dette udtryk bruges i Hartree-metoden som en ansatz for multipartikelbølgefunktionen og er kendt som Hartree-produktet, selvom det ikke er tilfredsstillende for fermioner, for eksempel for elektroner, da en sådan bølgefunktion ikke er antisymmetrisk, dvs. ligestillingen

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})=-\Psi ({\mathbf {r}}_{2},{\mathbf {r} }_{en}).

Af denne grund opfylder Hartree-produktet ikke princippet om partikel-uforskellighed. Dette problem kan løses ved at tage en lineær kombination af begge Hartree-produkter:

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\{\psi _{ 1}({\mathbf {r}}_{1})\psi _{2}({\mathbf {r}}_{2})-\psi _{1}({\mathbf {r}}_ {2})\psi _{2}({\mathbf {r}}_{1})\}

={\frac {1}{{\sqrt 2}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}({\mathbf {r}}_{1})&\psi _{2}({\ mathbf {r}}_{1})\\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{2})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{2} )\end{vmatrix}}

Her er multiplikatoren normaliseringsfaktoren. En sådan bølgefunktion er antisymmetrisk. Desuden bliver det nul, hvis to bølgefunktioner er ens. En konsekvens af dette er Pauli-udelukkelsesprincippet . ${\frac {1}{{\sqrt {2))))$

Generalisering

Slater-determinanten for et system af identiske partikler er konstrueret som følger. Et sæt lineært uafhængige en-partikelbølgefunktioner tages . Den antisymmetriske bølgefunktion vil have formen $N$ $N$ $\psi _{i}({\mathbf {r}})$

\psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2},\ldots,{\mathbf {r}}_{i},\ldots,{\mathbf {r } }}_{N})={\frac {1}{{\sqrt {N!}}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{1}({\mathbf {r}}_ { 1})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{1})&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{1})&\ldots & \psi _{N}({\mathbf {r}}_{1})\\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{2})&\psi _{2}({ \ mathbf {r}}_{2})&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{2})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r } }_{2})\\&&&\vdots \\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{i})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{ i })&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{i})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r}}_{i})\ \ &&&\vdots \\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{N})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{N})&\ldots &\ psi _{i}({\mathbf {r}}_{N})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r}}_{N})\end{matrix}}\right|

Således er den generelle antisymmetriske form af bølgefunktionen givet. Normalt er enkeltpartikelbølgefunktioner enten ukendte eller har ukendte parametre, som bestemmes ved at løse Schrödinger-ligningen , for eksempel ved variationsmetoden . En sådan procedure anvendes især i Hartree-Fock-metoden til selvkonsistente kvantemekaniske beregninger. $\psi _{i}({\mathbf {r}})$