Grothendieck topologi

Grothendieck-topologien er en struktur på en kategori , der får dens objekter til at ligne åbne sæt af et topologisk rum . En kategori sammen med Grothendieck-topologien kaldes en situs [1] eller site [2] .

Grothendiecks topologier aksiomatiserer definitionen af et åbent dæksel , hvilket gør det muligt at definere skiver i kategorier og deres kohomologi , hvilket først blev udført af Alexander Grothendieck for étale cohomology of schemes .

Der er en naturlig måde at forbinde et topologisk rum med Grothendieck-topologien, i denne forstand kan det betragtes som en generalisering af de sædvanlige topologier . På samme tid er det for en stor klasse af topologiske rum muligt at genoprette topologien fra dens Grothendieck-topologi, men dette er ikke tilfældet for et antidiskret rum .

Definition

Motivation

Den klassiske definition af et skær starter med noget topologisk rum . Det er forbundet med kategorien , hvis objekter er åbne sæt af topologien, og sættet af morfismer mellem to objekter består af ét element, hvis det første sæt er indlejret i det andet (disse tilknytninger kaldes åbne indlejringer), og ellers tomt. Derefter defineres en presheaf som en kontravariant funktion i kategorien af sæt , og en sheaf er defineret som en presheaf, der opfylder limningsaksiomet . Limeaksiomet er formuleret i form af punktvis dækning, det vil sige, at det dækker hvis og kun hvis . Grothendieck-topologierne erstatter hver med en hel familie af åbne sæt; mere præcist erstattes af den åbne tilknytningsfamilie . Sådan en familie kaldes en si . $x$ $OKSE)$ $\{U_{i}\}$ $U$ $\bigcup {_{i}}U_{i}=U$ $U_{i}$ $U_{i}$ $V_{ij}\to U_{i}$

Sigte

Hvis er et vilkårligt objekt i kategorien , så er gitteret en subfunctor af funktoren . I tilfældet med kategorien er en sigte på et åbent sæt en familie af åbne delmængder , lukket under driften af at tage en åben delmængde. Et vilkårligt åbent sæt , så er en delmængde af henholdsvis , den er tom hvis - ikke en delmængde af , og kan ellers bestå af ét element; hvis den ikke er tom, kan vi antage, at den er valgt af en sigte. Hvis er en delmængde af , så er der en morfisme , så hvis den ikke er tom, så er den heller ikke tom. $c$ ${\mathcal C}$ $c$ $\mathrm {Hom} (-,c)$ $OKSE)$ $S$ $U$ $U$ $V$ $S(V)$ $\mathrm {Hom} (V,U)$ $V$ $U$ $V$ $W$ $V$ $S(V)\to S(W)$ $S(V)$ $S(W)$

Aksiomer

Grothendieck-topologien på kategorien er valget for hvert objekt i kategorien af et sæt gitter på , betegnet med . Elementerne kaldes dækkende gitter på . Især en si på et åbent sæt er dækkende, hvis og kun hvis foreningen af alle , sådan der ikke er tom, er alle . Dette valg skal opfylde følgende aksiomer: $J$ ${\mathcal C}$ $c$ ${\mathcal C}$ $c$ $J(c)$ $J(c)$ $c$ $S$ $U$ $V$ $S(V)$ $U$

basisændring: hvis er en dæksi på og er en morfisme, så er det omvendte billede af soldet under påvirkning af ( ) en dæksi på . $S$ $x$ $f:Y\to X$ $f$ $f\ast S$ $Y$
lokal karakter: hvis er en dæksi på , er en vilkårlig sigte på , og for hver genstand og hver morfisme tilhørende , er det omvendte billede af sigten en dæksi på , så er en dæksi på . $S$ $x$ $T$ $x$ $Y\in \mathrm {Ob} {\mathcal {C}}$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $f\ast T$ $Y$ $T$ $x$
enhed: — dækkende sigte til enhver genstand i kategorien . $\mathrm {Hom} (-,X)$ $x$ $x$ ${\mathcal C}$

Udskiftning af basen svarer til ideen om, at hvis dækker , så dækker . Den lokale karakter svarer til, at hvis covers og covers for hver , så alle covers . Endelig svarer man til, at hvert sæt kan være omfattet af foreningen af alle dets delmængder. $\{U_{i}\}$ $U$ $\{U_{i}\cap V\}$ $U\cap V$ $\{U_{i}\}$ $U$ $\{V_{ij}\}$ $U_{i}$ $jeg$ $\{V_{ij}\}$ $U$

Situs og bundter

I en kategori kan man definere en bunke ved hjælp af limningsaksiomet. Det viser sig, at et hylster kan defineres i enhver kategori med Grothendieck-topologien: et hylster på en situs er et hylster , således at for enhver genstand og dækkende sigte på det naturlige kort induceret af indlejringen i Hom(−, X ) er bijektion. En morfisme mellem skiver, ligesom en morfisme mellem forskiver, er en naturlig transformation af funktioner. Kategorien af alle skiver på en situs kaldes Grothendieck topos . Skive, abelske grupper, ringe, moduler og andre strukturer er defineret på samme måde. $OKSE)$ $({\mathcal {C)),J)$ $F$ $x$ $S$ $x$ $\mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,X),F)\to \mathrm {Hom} (S,F)$ $S$

Ved hjælp af Yonedas lemma kan man bevise, at en bunke i den kategori, der er defineret på denne måde, falder sammen med en bunke i topologisk forstand. $OKSE)$

Eksempler på situs

Diskret og antidiskret topologi

Den diskrete topologi på en vilkårlig kategori er givet ved at erklære alle sigter åbne. For at specificere en antidiskret topologi bør kun sigter af formen betragtes som åbne . I den antidiskrete topologi er ethvert presskive et hylster. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X)$

Kanonisk topologi

Den kanoniske topologi på en vilkårlig kategori er den mest subtile topologi , således at alle repræsentable presheaves (formenser sives. En topologi, der er mindre tynd (det vil sige en topologi sådan, at enhver repræsentabel presheave er en sheave) kaldes subkanonisk. , de fleste af de topologier, man støder på i praksis, er subkanoniske. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X))$

Lille og stor situs forbundet med det topologiske rum

For at sammenligne det topologiske rum af en lille situs, i kategorien dækninger erklæres sådanne sigter , at foreningen af alle sådanne, der er ikke-tom falder sammen med alle . $OKSE)$ $S$ $V$ $S(V)$ $U$

En sigte i kategorien topologiske rum kaldes en dækkende sigte, hvis følgende betingelser er opfyldt: $S$ $\mathbf {Top}$

for alle og morfismer , der tilhører , eksisterer der en genstand og en pil sådan, der er en åben indlejring, tilhører og går igennem ; $Y$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $V$ $g:V\to X$ $g$ $g$ $S(V)$ $f$ $g$
hvis er foreningen , hvor løber igennem , så . $W$ $f(Y)$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $W=X$

For kommakategorien af topologiske rum over et fast topologisk rum induceres topologien af kategorien . Den resulterende kategori kaldes den store situs forbundet med det topologiske rum . $x$ $\mathbf {Top}$ $x$

Topologier i kategorien af kredsløb

Funktioner mellem steder

Noter

↑ R. Goldblatt. Topoi. Kategorisk analyse af logik. - M . : Mir, 1983. - 487 s.
↑ P. Johnston. Topoi teori. — M .: Nauka, 1986. — 440 s.

Litteratur

Artin, Michael. Grothendieck topologier - Harvard University, Dept. i matematik, 1962.
Demazure Michel, Alexandre Grothendieck. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - bd. 1 (Forelæsningsnotater i matematik 151). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1970. P. xv+564.
Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Forelæsningsnotater i matematik 269). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1972. P. xix+525.