Afdækning

En dækning er en kontinuerlig surjektiv kortlægning af et stiforbundet rum på et stiforbundet rum, således at ethvert punkt har et kvarter , hvis fulde omvendte billede er foreningen af parvise usammenhængende områder : $p:X\til Y$ $x$ $Y$ $y\i Y$ $U\undersæt Y$ $p^{{-1}}(U)$ $V_{k}\delsæt X$

p^{{-1}}(U)=V_{1}\kop V_{2}\kop \dots

desuden på hvert domæne er kortlægningen en homøomorfi mellem og . $V_{k}$ $p:\,V_{k}\til U$ $V_{k}$ $U$

Formel definition

En kortlægning af et stiforbundet rum på et stiforbundet rum kaldes en dækning, hvis et punkt har et kvarter , for hvilket der er en homeomorfisme , hvor er et diskret rum, således at hvis betegner en naturlig projektion, så $p:X\til Y$ $x$ $Y$ $y\i Y$ $U\undersæt Y$ $h:p^{-1}(U)\til U\ gange \Gamma$ $\Gamma$ $\pi:U\ gange \Gamma\til U$

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

Relaterede definitioner

Rummet kaldes bunden af dækningen og dækslets ( eller dækningsrummet ) . $Y$ $x$
Det omvendte billede af et punkt kaldes laget over punktet . $p^{{-1}}(y)$ $y\i Y$ $y$
Antallet af områder i det fulde præbillede kaldes antallet af ark . $V_{k}$ $p^{{-1}}(U)$
- Hvis dette tal er endeligt og lig med , så kaldes
dækningen -sheeted . $n$ $n$

Et dæksel kaldes universal , hvis der for ethvert andet dæksel findes et dæksel sådan, at .

p\colon {\tilde {Y}}\to Y

q\colon X\to Y

s\colon {\tilde {Y}}\to X

p=q\circ s

Eksempler

Lad betegne enhedscirklen for det komplekse plan . $S^{1}$ $S^{1}=\{z\in {{\mathbb C}||z|=1}\}$
- $p:{{\mathbb R}}\to S^{1}$ , . $p:x\mapsto e^{{2\pi ix}}$
- $p:S^{1}\til S^{1}$ , , hvor , . $p:z\mapsto z^{k}$ $k\neq 0$ $k\in {{\mathbb Z}}$

Egenskaber

Belægninger er lokale homeomorfismer
Covers er et særligt tilfælde af lokalt trivielle bundter . De kan betragtes som lokalt trivielle fibre med en diskret fiber.
Alle dobbeltbelægninger er almindelige.
Universalbeklædningen er regulær.

Forbindelse med den grundlæggende gruppe

Inddækningen betragtes normalt under den antagelse, at u er forbundet og også lokalt enkelt forbundet . Under disse antagelser etableres en forbindelse mellem de grundlæggende grupper og : hvis , så den inducerede homomorfi , maps isomorphically til en undergruppe i , og ændrer punktet i , kan man opnå nøjagtig alle undergrupper fra nogle klasse af konjugerede undergrupper. $x$ $Y$ $Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p(x_{0})=y_{0}$ $p:\pi _{1}(X,x_{0})\til \pi _{1}(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $x_{0}$ $p^{{-1}}(y_{0})$

Hvis denne klasse består af én undergruppe (det vil sige en normaldivisor ), så kaldes dækningen regulær . I dette tilfælde opstår der en fri handling af gruppen på , og det viser sig at være en faktor, der kortlægger kredsløbets rum . Generelt er frie handlinger fra diskrete grupper den sædvanlige kilde til regulære dækninger (over kredsløbsrummet, selvom ikke enhver sådan handling definerer en dækning, kan kredsløbsrummet vise sig at være uadskilleligt), men dette gælder for endelige grupper. Denne handling genereres ved at hæve loops: hvis en loop , , er forbundet med en unik sti for hvilken og , så vil punktet kun afhænge af klassen af denne loop i og på punktet . Et element fra svarer således til en permutation af prikker i . Denne permutation har ingen faste punkter og afhænger kontinuerligt af punktet . Dette definerer en homeomorfisme , der pendler med . $H$ $H$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H$ $x$ $s$ $Y$ $q:[0,1]\til Y$ $q(0)=q(1)=y_{0}$ ${\tilde q}:[0,1]\til X$ ${\tilde q}(0)=x_{0}$ $p{\tilde q}=q$ ${\tilde q}(1)$ $G$ $x_{0}$ $G$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $y_0$ $x$ $s$

I det generelle tilfælde definerer denne konstruktion kun en permutation i , det vil sige, at der er en handling på , kaldet dækningens monodromi . Et særligt tilfælde af et almindeligt cover er det universalcover, som eller tilsvarende X blot er forbundet til. $p^{{-1}}(y_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})$

Generelt er der for hver gruppe en belægning unikt konstrueret , som der er et billede for . $H\subset \pi _{1}(Y,y_{0})$ $p:X\til Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $H$

For enhver kortlægning af et stiforbundet rum til et løft til en kortlægning eksisterer hvis og kun hvis billedet ligger i . Der er en delvis ordensrelation mellem belægninger (en dækning af en dækning er en dækning), hvilket er dobbelt med inddragelse af undergrupper i . Især den universelle beklædning er det eneste maksimale element. $f$ $(Z,z_{0})$ $(Y,y_{0})$ ${\tilde f}:(Z,z_{0})\til (X,x_{0})$ $f(\pi _{1}(Z,z_{0}))$ $H$ $Y$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri. Metoder og anvendelser. — M.: Nauka, 1986.
Boltyansky VG , Efremovich VA Visuel topologi . - M .: Nauka, 1982. - (Bibliotek "Quantum", udgave 21).