Jacobiansk problem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. februar 2020; checks kræver 4 redigeringer .

Det jakobiske problem er et problem om polynomiers egenskaber i flere variable.

Betingelser

Overvej et sæt polynomier med komplekse koefficienter i variable : ${\overline {X}}=X_{1},X_{2},...,X_{N}$

f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (en)

Antag, at for ethvert sæt ligningssystemet ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$

f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}

har en unik løsning, og der er sådanne polynomier ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$

g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N }]

at hver . Polynomierne antages at være uafhængige af sættet af frie udtryk . Dette svarer til, at hvert polynomium fra er unikt repræsenteret som et polynomium fra (og fra ). System (1) definerer en polynomiel mapping , hvorunder $a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},...,g_{N))$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$ $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},...f_{N))$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},...g_{N))$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow \mathbb {C} ^{N))$

f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1} ,...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},... ,b_{N})\i \mathbb {C} ^{N}\qquad (2)

Kortlægningen er en-til-en. Hertil kommer den omvendte mapping , som oversættes til $f$ $f^{-1}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$

f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2} (b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2 },...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}

er også polynomium.

Tilknyt en vilkårlig polynomieafbildning af formen (2) med en kvadratisk matrix (Jacobian af afbildningen ) af størrelse , hvor den partielle afledte står på plads . Vi definerer en anden polynomiel mapping og overvejer deres sammensætning , hvis Jacobi-matrix er lig med $f$ $J(f)({\overline {X)))$ $N$ $(i, j)$ $\partial f_{i}/\partial X_{J}$ $h:\mathbb {C} ^{N}\højrepil C^{N}$ $fh$

J(fh)({\overline {X)))=J(f)(h({\overline {X))))J(h)({\overline {X))))

Når vi beregner determinanterne, får vi det

\det(J(fh))({\overline {X)))=\det(J(f))(h({\overline {X))))\det(J(h))( {\overline {X)))

Især hvis polynomieafbildninger og er givet , så er deres sammensætning identitetskortlægningen. Derfor er identitetsmatrixen , så når den går over til determinanten, er enheden lig med produktet af polynomier, derfor er disse polynomier lig med konstanter, især, $f$ $f^{{-1}}$ $E=J(f^{-1}f)({\overline {X)))=J(f^{-1})(f({\overline {X))))J(f) ({\overline {X)))$

\det(J(f))({\overline {X)))

er en ikke-nul konstant.

Ordlyd

Det Jacobianske problem består i at løse det omvendte problem. Lad en polynomieafbildning af formen (2) være givet, og vær en konstant, der ikke er nul. Er det rigtigt, at der er en invers polynomieafbildning? Er det muligt at repræsentere hvert polynomium i som et polynomium i ? $f$ $\det(J(f))$ $C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ $f_{1},f_{2},...,f_{n}$

Resultater

Indtil 2022 var problemet løst for det tilfælde, hvor og grader ikke er højere end 150, og også hvis nogen, men graderne af alle polynomier er ikke højere end 2. [1] Derudover var det nok for at bevise en generel udsagn at bevise det for det tilfælde, hvor hver er et polynomium med højst 3 [1] . $N=2$ $f_{1},f_{2}$ $N$ $f_{1},f_{2},...,f_{N}$ $f_{i}$

Noter

↑ 1 2 Kostrikin, "Introduction to Algebra", v.1, s. 259-260

Litteratur

V. A. Artamonov Om løste og åbne problemer i teorien om polynomier // Soros Educational Journal , 2001, nr. 3, s. 110-113;