Thomson problem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. marts 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Målet med Thomsons problem er at bestemme minimumskonfigurationen af den samlede potentielle energi af en elektrostatisk ladning for N elektroner , afgrænset af overfladen af en enhedssfære, som afvises fra hinanden af kraften givet af Coulombs lov . Fysiker J. J. Thomson rejste problemet i 1904, efter at han foreslog en model af atomet, senere kaldet buddingmodellen , baseret på hans viden om eksistensen af negativt ladede elektroner i neutralt ladede atomer.

Beslægtede problemer inkluderer at studere geometrien af den minimale energikonfiguration og at studere adfærden af den N minimumsenergi ved stort N.

Matematisk formulering

Det fysiske system, der er inkorporeret i Thomson-problemet, er et specialtilfælde af et af de atten uløste matematiske problemer foreslået af matematikeren Steven Smale - "Distribution of points on a sphere". Løsningen på hvert N elektronproblem opnås, når konfigurationen af N elektroner afgrænset af overfladen af en kugle med enhedsradius, r = 1, giver det globale minimum af den elektrostatiske potentielle energi U(N)

Energien af elektrostatisk interaktion, der opstår mellem hvert par elektroner med lige ladninger ( , en elektrons elementære ladning) bestemmes af Coulombs lov, $e_{i}=e_{j}=e$

${\displaystyle {U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij))))))$

her er Coulomb-konstanten og afstanden mellem hvert par elektroner placeret i punkter på kuglen, bestemt af vektorerne og hhv. ${\displaystyle k_{e))$ $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ ${\displaystyle {r}_{i))$ ${\displaystyle {r}_{j))$

Forenklede enheder og bruges uden at miste hovedbetydningen. Derefter, $e=1$ $k_{e}=1$

${\displaystyle {\U_{ij}(N)={1 \over r_{ij)).))$

Den samlede potentielle energi af den elektrostatiske ladning af hver konfiguration af N-elektroner kan udtrykkes som summen af alle parinteraktioner.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

Global minimering over alle mulige sæt af N distinkte punkter findes normalt ved numeriske minimeringsalgoritmer.

Eksempel

Løsningen på Thomson-problemet for to elektroner opnås, når begge elektroner er så langt fra hinanden som muligt på modsatte sider af oprindelsen , eller ${\displaystyle {\displaystyle r_{ij}=2r=2))$

{\displaystyle U(2)={1 \over 2}}.}

Kendte løsninger

Skematiske geometriske løsninger af det matematiske Thomson-problem for op til N = 5 elektroner.

Minimum energikonfigurationer er kun blevet nøje defineret i nogle få tilfælde.

For N = 1 er løsningen triviel, da elektronen kan være placeret på et hvilket som helst punkt på overfladen af enhedskuglen. Den samlede energi af konfigurationen er defineret som nul, da elektronen ikke udsættes for et elektrisk felt på grund af andre ladningskilder.
For N = 2 består den optimale konfiguration af elektroner ved antipodale punkter.
For N = 3 er elektronerne i spidserne af en ligesidet trekant omkring en storcirkel.
For N = 4 er elektronerne i spidserne af et regulært tetraeder .
For N = 5 blev der opnået en matematisk streng computerløsning i 2010 med elektroner placeret i hjørnerne af en trekantet dipyramide.
For N = 6 er elektronerne i spidserne af et regulært oktaeder .
For N = 12 er elektronerne i spidserne af et regulært icosahedron .

Det er bemærkelsesværdigt, at de geometriske løsninger af Thomson-problemet for N = 4, 6 og 12 elektroner er kendt som platoniske faste stoffer, hvis flader er ens ligesidede trekanter. De numeriske løsninger for N = 8 og 20 er ikke regulære konvekse polyedriske konfigurationer af de resterende to platoniske faste stoffer , hvis flader er henholdsvis kvadratiske og femkantede.

Generaliseringer

Det er også muligt at forespørge på grundtilstandene for partikler, der interagerer med vilkårlige potentialer. For at være matematisk præcis, lad f være en aftagende reel funktion. Vi definerer energifunktionen $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Traditionelt betragtet også kendt som Riesz-kernen. For ikke-integrerbare Riesz-kerner gælder valmue-doughnut-sætningen . Bemærkelsesværdige tilfælde inkluderer α = ∞, Tammes-problemet; α = 1, Thomsons problem; α = 0, hvids problem (for at maksimere produktet af afstande). ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha ))$

Relationer til andre videnskabelige spørgsmål

Thomsons problem er en naturlig konsekvens af Thomsons blommebuddingmodel i fravær af dens ensartede positive baggrundsladning.

"Ingen fakta opdaget om atomet kan være trivielt og kan accelerere den fysiske videnskabs fremskridt, da det meste af naturfilosofien er resultatet af atomets struktur og mekanisme."

Selvom eksperimentelle data har ført til opgivelsen af Thomson- buddingmodellen som en komplet model af atomet, har det vist sig, at inhomogeniteterne observeret i de numeriske energiløsninger af Thomson-problemet svarer til fyldningen af elektronskallen med naturlige atomer hele vejen igennem. grundstoffernes periodiske system.

Thomson-problemet spiller også en rolle i studiet af andre fysiske modeller, herunder multi-elektronbobler og overfladeordning af flydende metaldråber fanget i Paul-fælder.

Det generaliserede Thomson-problem opstår for eksempel ved bestemmelse af placeringen af de proteinunderenheder, der udgør kapperne af sfæriske vira. "Partikler" er i dette tilfælde klynger af proteinunderenheder placeret på skallen. Andre eksempler inkluderer det regelmæssige arrangement af kolloide partikler i kolloidosomer , foreslået til at indkapsle aktive ingredienser såsom lægemidler, næringsstoffer eller levende celler, fullerenstrukturer af kulstofatomer og teorien om elektronparrepulsion. Et eksempel på langtrækkende logaritmiske interaktioner er Abrikosov-hvirvler, som ville dannes ved lave temperaturer i en superledende metalskal med et stort elektromagnetisk felt i midten.

Laveste kendte energikonfigurationer

I følgende tabel - antallet af punkter (ladninger) i konfigurationen, - energien, typen af symmetri er angivet i Schoenflies notation (se Punktgrupper i tre dimensioner ), - ladningernes positioner. De fleste typer symmetri kræver, at vektorsummen af positionerne (og dermed det elektriske dipolmoment ) er nul. $N$ $E_1$ $r_{i}$

Det er også sædvanligt at tage højde for polyederet dannet af det konvekse skrog af punkter. Således er antallet af hjørner, hvor et givet antal kanter forekommer, er det samlede antal kanter, er antallet af trekantede flader, er antallet af firsidede flader, og er den mindste vinkel repræsenteret af vektorerne forbundet med det nærmeste par af afgifter. Bemærk, at kantlængder normalt ikke er ens; således (bortset fra tilfældene N = 4, 6, 12, 24) er det konvekse skrog kun topologisk ækvivalent med et homogent polyeder eller Johnson-legeme. Sidstnævnte er anført i sidste kolonne. $v_{i}$ $e$ $f_3$ ${\displaystyle f_{4))$ $\theta _{1}$

N	E 1	Symmetri	${\displaystyle \left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|}$	${\displaystyle v_{3))$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5))$	${\displaystyle v_{6))$	${\displaystyle v_{7))$	${\displaystyle v_{8))$	e	${\displaystyle f_{3))$	${\displaystyle f_{4))$	$\theta _{1}$	Tilsvarende polyeder
2	0,500000000	${\displaystyle D_{\infty h))$	0	—	—	—	—	—	—	en	—	—	180.000°	dvuagon
3	1,732050808	${\displaystyle D_{3t))$	0	—	—	—	—	—	—	3	en	—	120.000°	trekant
fire	3,674234614	${\displaystyle T_{d))$	0	fire	0	0	0	0	0	6	fire	0	109,471°	tetraeder
5	6.474691495	${\displaystyle D_{3t))$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	trekantet dipyramide
6	9,985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	otte	0	90.000°	oktaeder
7	+14.452977414	${\displaystyle D_{5t))$	0	0	5	2	0	0	0	femten	ti	0	72.000°	femkantet dipyramide
otte	+19.675287861	$D_{4d}$	0	0	otte	0	0	0	0	16	otte	2	71,694°	firkantet antiprisme
9	+25.759986531	${\displaystyle D_{3t))$	0	0	3	6	0	0	0	21	fjorten	0	69.190°	trekantet prisme
ti	+32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	otte	0	0	0	24	16	0	64.996°	Gyro aflang firkantet dipyramide
elleve	+40.596450510	${\displaystyle C_{2v))$	0,013219635	0	2	otte	en	0	0	27	atten	0	58.540°	icosahedron komprimeret af en kant
12	+49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	tredive	tyve	0	63,435°	icosahedron
13	+58.853230612	${\displaystyle C_{2v))$	0,008820367	0	en	ti	2	0	0	33	22	0	52,317°	—
fjorten	+69.306363297	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866°	snoet aflang hexagonal dipyramide
femten	+80.670244114	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225°	—
16	+92.911655302	$T$	0	0	0	12	fire	0	0	42	28	0	48,936°	—
17	+106.050404829	${\displaystyle D_{5t))$	0	0	0	12	5	0	0	45	tredive	0	50,108°	—
atten	+120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	otte	otte	0	0	48	32	0	47,534°	—
19	+135.089467557	${\displaystyle C_{2v))$	0,000135163	0	0	fjorten	5	0	0	halvtreds	32	en	44.910°	—
tyve	+150.881568334	${\displaystyle D_{3t))$	0	0	0	12	otte	0	0	54	36	0	46,093°	—
21	+167.641622399	${\displaystyle C_{2v))$	0,001406124	0	en	ti	ti	0	0	57	38	0	44,321°	—
22	+185.287536149	${\displaystyle T_{d))$	0	0	0	12	ti	0	0	60	40	0	43,302°	—
23	+203.930190663	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	elleve	0	0	63	42	0	41,481°	—
24	+223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065°	snub terning
25	+243.812760299	$C_{S}$	0,001021305	0	0	fjorten	elleve	0	0	68	44	en	39.610°	—
26	+265.133326317	$C_{2}$	0,001919065	0	0	12	fjorten	0	0	72	48	0	38,842°	—
27	+287.302615033	${\displaystyle D_{5t))$	0	0	0	12	femten	0	0	75	halvtreds	0	39.940°	—
28	+310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824°	—
29	+334.634439920	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391°	—
tredive	+359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	atten	0	0	84	56	0	36,942°	—
31	+385.530838063	${\displaystyle C_{3v))$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373°	—
32	+412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	tyve	0	0	90	60	0	37,377°	—
33	+440.204057448	${\displaystyle C_{s))$	0,004356481	0	0	femten	17	en	0	92	60	en	33.700°	—
34	+468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273°	—
35	+498.569872491	$C_{2}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°	—
36	+529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229°	—
37	+560.618887731	${\displaystyle D_{5t))$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°	—
38	+593.038503566	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236°	—
39	+626.389009017	${\displaystyle D_{3t))$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053°	—
40	+660.675278835	${\displaystyle T_{d))$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916°	—
41	+695.916744342	${\displaystyle D_{3t))$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528°	—
42	+732.078107544	${\displaystyle D_{5t))$	0	0	0	12	tredive	0	0	120	80	0	31,245°	—
43	+769.190846459	${\displaystyle C_{2v))$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867°	—
44	+807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	tyve	0	0	120	72	6	31,258°	—
45	+846.188401061	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207°	—
46	+886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°	—
47	+927.059270680	${\displaystyle C_{s))$	0,002482914	0	0	fjorten	33	0	0	134	88	en	28,787°	—
48	+968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°	—
49	+1011.557182654	$C_{{3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387°	—
halvtreds	+1055.182314726	${\displaystyle D_{6d))$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231°	—
51	+1099.819290319	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165°	—
52	+1145.418964319	$C_{{3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°	—
53	+1191.922290416	$C_{{2v}}$	0,000278469	0	0	atten	35	0	0	150	96	3	27,137°	—
54	+1239.361474729	$C_{2}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°	—
55	+1287.772720783	$C_{2}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615°	—
56	+1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683°	—
57	+1387.383229253	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°	—
58	+1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°	—
59	+1490.773335279	$C_{2}$	0,000154286	0	0	fjorten	43	2	0	171	114	0	26.170°	—
60	+1543.830400976	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958°	—
61	+1597.941830199	$C_{1}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392°	—
62	+1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	halvtreds	0	0	180	120	0	25.880°	—
63	+1708.879681503	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257°	—
64	+1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°	—
65	+1823.667960264	$C_{2}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527°	—
66	+1882.441525304	$C_{2}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765°	—
67	+1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727°	—
68	+2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°	—
69	+2064.533483235	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137°	—
70	+2127.100901551	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	12	halvtreds	0	0	200	128	fire	24,291°	—
71	+2190.649906425	$C_{2}$	0,001256769	0	0	fjorten	55	2	0	207	138	0	23.803°	—
72	+2255.001190975	$jeg$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°	—
73	+2320.633883745	$C_{2}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°	—
74	+2387.072981838	$C_{2}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966°	—
75	+2454.369689040	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°	—
76	+2522.674871841	$C_{2}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°	—
77	+2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286°	—
78	+2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426°	—
79	+2733.248357479	${\displaystyle C_{s))$	0,000702921	0	0	12	63	en	0	230	152	en	22.636°	—
80	+2805.355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778°	—
81	+2878.522829664	$C_{2}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°	—
82	+2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206°	—
83	+3027.528488921	$C_{2}$	0,000339815	0	0	fjorten	67	2	0	243	162	0	21,646°	—
84	+3103.465124431	$C_{2}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°	—
85	+3180.361442939	$C_{2}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°	—
86	+3258.211605713	$C_{2}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°	—
87	+3337.000750014	$C_{2}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°	—
88	+3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°	—
89	+3497.439018625	$C_{2}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°	—
90	+3579.091222723	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°	—
91	+3661.713699320	$C_{2}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°	—
92	+3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026°	—
93	+3829.844338421	$C_{2}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751°	—
94	+3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952°	—
95	+4001.771675565	$C_{2}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711°	—
96	+4089.154010060	$C_{2}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687°	—
97	+4177.533599622	$C_{2}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°	—
98	+4266.822464156	$C_{2}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422°	—
99	+4357.139163132	$C_{2}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284°	—
100	+4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297°	—
101	+4540.590051694	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°	—
102	+4633.736565899	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°	—
103	+4727.836616833	$C_{2}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°	—
104	+4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°	—
105	+4919.000637616	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°	—
106	+5015.984595705	${\displaystyle D_{2))$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°	—
107	+5113.953547724	$C_{2}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°	—
108	+5212.813507831	$C_{2}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°	—
109	+5312.735079920	$C_{2}$	0,000647299	0	0	fjorten	93	2	0	321	214	0	19.103°	—
110	+5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476°	—
111	+5515.293214587	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°	—
112	+5618.044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°	—
113	+5721.824978027	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978°	—
114	+5826.521572163	$C_{2}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°	—
115	+5932.181285777	$C_{{3}}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°	—
116	+6038.815593579	$C_{2}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°	—
117	+6146.342446579	$C_{2}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°	—
118	+6254.877027790	$C_{2}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°	—
119	+6364.347317479	$C_{2}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°	—
120	+6474.756324980	${\displaystyle C_{s))$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°	—
121	+6586.121949584	$C_{{3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°	—
122	+6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°	—
123	+6811.827228174	$C_{{2v}}$	0,001939754	0	0	fjorten	107	2	0	363	242	0	17.840°	—
124	+6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°	—
125	+7041.473264023	$C_{2}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867°	—
126	+7157.669224867	${\displaystyle D_{4))$	0	0	2	16	100	otte	0	372	248	0	17.920°	—
127	+7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877°	—
128	+7393.007443068	$C_{2}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°	—
129	+7512.107319268	$C_{2}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°	—
130	+7632.167378912	$C_{2}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°	—
131	+7753.205166941	$C_{2}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°	—
132	+7875.045342797	$jeg$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°	—
133	+7998.179212898	$C_{{3}}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°	—
134	+8122.089721194	$C_{2}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°	—
135	+8246.909486992	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°	—
136	+8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°	—
137	+8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°	—
138	+8627.406389880	$C_{2}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924°	—
139	+8756.227056057	$C_{2}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673°	—
140	+8885.980609041	$C_{1}$	0,000630351	0	0	13	126	en	0	414	276	0	16,773°	—
141	+9016.615349190	$C_{{2v}}$	0,000376365	0	0	fjorten	126	0	en	417	278	0	16.962°	—
142	+9148.271579993	$C_{2}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°	—
143	+9280.839851192	$C_{2}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°	—
144	+9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°	—
145	+9548.928837232	${\displaystyle C_{s))$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°	—
146	+9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°	—
147	+9820.932378373	$C_{2}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°	—
148	+9958.406004270	$C_{2}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627°	—
149	+10096.859907397	$C_{1}$	0,000638186	0	0	fjorten	133	2	0	441	294	0	16.344°	—
150	+10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°	—
151	+10376.571469275	$C_{2}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°	—
152	+10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°	—
153	+10660.082748237	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°	—
154	+10803.372421141	$C_{2}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078°	—
155	+10947.574692279	$C_{2}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°	—
156	+11092.798311456	$C_{2}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822°	—
157	+11238.903041156	$C_{2}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948°	—
158	+11385.990186197	$C_{2}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°	—
159	+11534.023960956	$C_{2}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°	—
160	+11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961°	—
161	+11833.084739465	$C_{2}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°	—
162	+11984.050335814	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°	—
163	+12136.013053220	$C_{2}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675°	—
164	+12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°	—
165	+12442.804451373	$C_{2}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°	—
166	+12597.649071323	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	16	146	fire	0	492	328	0	15.607°	—
167	+12753.469429750	$C_{2}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°	—
168	+12910.212672268	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°	—
169	+13068.006451127	${\displaystyle C_{s))$	0,000068102	0	0	13	155	en	0	501	334	0	15,537°	—
170	+13226.681078541	${\displaystyle D_{2d))$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569°	—
171	+13386.355930717	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°	—
172	+13547.018108787	$C_{{2v}}$	0,000547291	0	0	fjorten	156	2	0	510	340	0	15,292°	—
173	+13708.635243034	${\displaystyle C_{s))$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225°	—
174	+13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366°	—
175	+14034.781306929	$C_{2}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°	—
176	+14199.354775632	$C_{1}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°	—
177	+14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269°	—
178	+14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°	—
179	+14698.754594220	$C_{1}$	0,000125113	0	0	13	165	en	0	531	354	0	14,968°	—
180	+14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067°	—
181	+15036.467239769	$C_{2}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°	—
182	+15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°	—
183	+15378.166571028	$C_{1}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°	—
184	+15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°	—
185	+15723.720074072	$C_{2}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775°	—
186	+15897.897437048	$C_{1}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°	—
187	+16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°	—
188	+16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°	—
189	+16426.371938862	$C_{2}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671°	—
190	+16604.428338501	$C_{{3}}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°	—
191	+16783.452219362	$C_{1}$	0,001129202	0	0	13	177	en	0	567	378	0	14.195°	—
192	+16963.338386460	$jeg$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°	—
193	+17144.564740880	$C_{2}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°	—
194	+17326.616136471	$C_{1}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°	—
195	+17509.489303930	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°	—
196	+17693.460548082	$C_{2}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°	—
197	+17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°	—
198	+18064.262177195	$C_{2}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237°	—
199	+18251.082495640	$C_{1}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°	—
200	+18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222°	—
201	+18627.591226244	$C_{1}$	0,001048859	0	0	13	187	en	0	597	398	0	13.830°	—
202	+18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°	—
203	+19007.981204580	${\displaystyle C_{s))$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977°	—
204	+19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°	—
212	+20768.053085964	$jeg$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°	—
214	+21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771°	—
216	+21575.596377869	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°	—
217	+21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°	—
232	+24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°	—
255	+30264.424251281	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	243	0	0	+759	506	0	12.565°	—
256	+30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572°	—
257	+30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672°	—
272	+34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	—
282	+37147.294418462	$jeg$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166°	—
292	+39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857°	—
306	+43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628°	—
312	+45629.313804002	$C_{2}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°	—
315	+46525.825643432	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	303	0	0	+939	626	0	11,337°	—
317	+47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423°	—
318	+47431.056020043	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	12	306	0	0	+948	632	0	11,219°	—
334	+52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	+996	664	0	11,058°	—
348	+56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721°	—
357	+59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728°	—
358	+60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647°	—
372	+65230.027122557	$jeg$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531°	—
382	+68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379°	—
390	+71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	+776	0	10,222°	—
392	+72546.258370889	$jeg$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278°	—
400	+75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	+1194	+796	0	10,068°	—
402	+76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099°	—
432	+88353.709681956	${\displaystyle D_{3))$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556°	—
448	+95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322°	—
460	+100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297°	—
468	+103920.871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	+932	0	9,120°	—
470	+104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	+936	0	9,059°	—

Ifølge antagelsen, hvis , p er et polyeder dannet af et konveks skrog med m punkter, q er antallet af firkantede flader p , så er løsningen for m elektroner f ( m ): . ${\displaystyle {\displaystyle m=n+2))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q))$

Links

Thomson, Joseph John (marts 1904). “Om atomets struktur: en undersøgelse af stabiliteten og svingningsperioderne af et antal blodlegemer placeret med jævne mellemrum rundt om en cirkels omkreds; med anvendelse af resultaterne til teorien om atomstruktur" (PDF). Filosofisk Tidsskrift . Serie 6. 7 (39): 237-265. doi: 10.1080 / 14786440409463107. Arkiveret fra originalen (PDF) den 13. december 2013.
Smale, S. (1998). "Det næste århundredes matematiske problemer". "Matematisk intelligens".
Föppl, L. (1912). "Det stabile arrangement af elektroner i atomet" af J. Rain Angew. Matematik (141): 251-301
Schwartz, Richard (2010). "Et fem-elektron tilfælde af Thomson-problemet". arXiv : 1001.3702 ;[ math.MG ].
^ Landkof N. S. Fundamentals of modern potential theory. Oversættelse fra russisk af A.P. Dukhovsky. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, gruppe 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 pp.
^ Hardin D.P.; Saff, E. B. Diskretiserende manifolder gennem punkter med minimal energi. Noter af Amer. Matematik Soc. 51 (2004), nr. 10, 1186-1194
^ Levine, Y.; Arenzon, JJ (2003). "Hvorfor ladninger går til overfladen: et generaliseret Thomson-problem". Europhys. Lett . 63(3):415. arXiv: cond-mat/0302524 . doi: 10.1209/epl/i2003-00546-1 .
^ Sir J. J. Thomson, Romanov-forelæsning, 1914 (Atomteori)
LaFave Jr, Tim (2013). "Korrespondancer mellem Thomsons klassiske elektrostatiske problem og atomare elektroniske struktur". Journal of Electrostatics . 71(6): 1029-1035. arXiv: 1403.2591 . doi: 10.1016/j.elstat.2013.10.001.
Kevin Brown. "Konfigurationer af minimumselektronenergi på en kugle" . Hentet 2014-05-01.
" Sloanes A008486 (se kommentar 03. feb 2017) ". Electronic Encyclopedia of Heltal Sequences . OEIS Fonden. Modtaget 2017-02-08