Dualitetsprincip (mængdelære)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. januar 2019; checks kræver 4 redigeringer .

Dualitetsprincippet i mængdeteori er et udsagn om egenskaberne ved operationer på mængder.

Ordlyd

Lad et sæt blive givet . Overvej systemet med alle dets undersæt . Følgende påstand er sand: hvis sætningen om delmængder af mængden er sand , som kun er formuleret ved hjælp af operationerne af forening ( ), skæring ( ) og komplement ( ), så er sætningen opnået fra denne ved at erstatte operationen af forening og skæring med operationerne af henholdsvis kryds og forening er også sandt, det tomme sæt er sættet , og sættet er det tomme sæt. $M$ $M$ $A\kop B$ $A\cap B$ ${\overline {A}}$ $\emptyset$ $M$ $M$

Eksempler

Sætning. For alle delmængder og sæt er det sandt, at . $EN$ $B$ $C$ $M$ $(A\kop B)\cap C=(A\cap C)\kop (B\cap C)$

Ud fra denne (rigtige) sætning kan der ved dualitetsprincippet fås en lignende udsagn med følgende lighed: . $(A\kap B)\kop C=(A\kop C)\hætte (B\kop C)$

Sætning. For enhver delmængde af sættet er det rigtigt, at . $EN$ $M$ $A\cap {\overline {A}}=\emptyset$

Ud fra denne (rigtige) sætning kan der ved dualitetsprincippet fås en lignende udsagn med følgende lighed: . $A\cup {\overline {A}}=M$

Det er vigtigt at bemærke, at princippet om dualitet kun er anvendeligt i tilfælde, hvor sætningens udsagn postulerer ligheden mellem to udtryk over mængder; i andre tilfælde kan den blive overtrådt. For eksempel gælder det for alle undermængder og sæt , at ; dog er den dobbelte sætning ( ) falsk. $EN$ $B$ $M$ $A\cap B\subseteq A\cup B$ $A\cup B\subseteq A\cap B$

Litteratur

Dualitetsprincippet // Gogol - Debet. - M . : Soviet Encyclopedia, 1972. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / chefredaktør A. M. Prokhorov ; 1969-1978, bind 7).