Duhamel princip

I matematik , og mere specifikt i differentialligninger , giver Duhamel-princippet mulighed for at finde en løsning på den inhomogene bølgeligning , samt den inhomogene varmeligning [1] . Det er opkaldt efter Jean-Marie Constant Duhamel (1797-1872), en fransk matematiker.

En inhomogen bølgeligning er givet:

u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)

med startbetingelser

u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.

Løsningen ser sådan ud:

u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{xc(ts)}^{x+c(ts)}f( \xi ,s)\,d\xi \,ds.

For en lineær ODE med konstante koefficienter

Duhamels princip siger, at en løsning til en ikke-homogen lineær partiel differentialligning kan findes ved at finde en løsning til en homogen ligning og derefter erstatte den med Duhamel-integralet . Antag, at vi har en ikke-homogen almindelig differentialligning med konstante koefficienter af orden m:

P(\partial _{t})u(t)=F(t)

\partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1

hvor

P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\; a_{m}\neq 0.

Vi kan løse den homogene ODE først ved hjælp af følgende metoder. Alle trin udføres formelt og ignorerer de krav, der er nødvendige for, at en løsning er klart defineret.

P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\ delvis _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.

Definer , - karakteristisk funktion på intervallet . Derefter ${\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )))$ ${\displaystyle \chi _{[0,\infty )))$ $[0,\infty)$

P(\partial _{t})H=\delta

er en generisk funktion .

u(t)=(H\ast F)(t)

=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau

=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau

der er en løsning på ODE.

For partielle differentialligninger

Lad der være en inhomogen partiel differentialligning med konstante koefficienter:

P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)

hvor

D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}

Vi kan løse den homogene ODE først ved hjælp af følgende metoder. Alle trin udføres formelt og ignorerer de krav, der er nødvendige for, at en løsning er klart defineret.

Først ved at bruge Fourier-transformationen af x , vi har

P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).

hvor er en ODE af orden m i t . Lad dette være koefficienten for den højeste ordens term i . $P(\partial _{t},\xi)$ ${\displaystyle a_{m))$ $P(\partial _{t},\xi)$

Vi bestemmer for hver $\xi$ $G(t,\xi )$

P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\ mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.

Lad os definere . Derefter $H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)$

P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)

er en generisk funktion .

{\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)

=\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau

=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau

er løsningen til ligningen (efter at have gået tilbage til x ).

Noter

↑ Poisson-integral for den inhomogene varmeligning. Duhamels princip (utilgængeligt link)