Primitivt polynomium (algebra)

I algebra er et primitivt polynomium ethvert polynomium , hvor er en associativ-kommutativ ring , med en enkeltværdifaktorisering, hvis koefficienter ikke har ikke-trivielle fælles divisorer. $f(x)\in R[x]$ $R$

Ethvert polynomium kan skrives som , hvor er et primitivt polynomium og a er den største fælles divisor af polynomiets koefficienter . Elementet , er defineret op til multiplikation med inverterbare elementer fra R, det kaldes indholdet af polynomiet . $g(x)\in R[x]$ $g(x)=c_{g}\cdot f(x)$ $f(x)$ $c_{g}$ $g(x)$ $c_{g}\i R$ $g(x)$

Lemma af Gauss

Hvis , så . Især produktet af primitive polynomier er igen primitivt. $g_{1}(x),g_{2}(x)\i R[x]$ $c_{{g_{1}g_{2}}}=c_{{g_{1}}}c_{{g_{2}}}$

Bevis

Vi beviser først, at produktet af primitive polynomier er et primitivt polynomium. For at gøre dette er det tilstrækkeligt at kontrollere, at hvis et simpelt element i ringen deler alle polynomiets koefficienter , så er det en fælles divisor af alle polynomiets koefficienter eller en fælles divisor af alle polynomiets koefficienter . Lad , , være graderne af disse polynomier. Lad os lave en induktion på . Hvis , så og , . Hvis deler , så da ringen er faktoriel, dividerer eller deler , det vil sige i dette tilfælde er udsagnet sandt. I det generelle tilfælde . Antag, at et enkelt element i ringen deler alle polynomiets koefficienter . Da ringen også er faktoriel, så eller . Lad for bestemthed . Hvis , så dividerer alle koefficienterne for polynomiet . Hvis , så bemærk, at vil også være en fælles divisor for alle koefficienter af polynomiet , hvor . Faktisk er alle koefficienterne for polynomiet delelige med , og dermed med . Dividerer alle koefficienterne for et polynomium , eller alle koefficienterne for et polynomium , med den induktive hypotese . I det første tilfælde deler den også alle polynomiets koefficienter . Ved princippet om matematisk induktion er udsagnet bevist for alle værdier og $s$ $R$ $f(x)g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ ${\displaystyle g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m))$ $n=\operatørnavn {deg} f,m=\operatørnavn {deg} g$ $m+n$ $m+n=0$ $m=0$ $n=0$ ${\displaystyle f(x)=a_{0},g(x)=b_{0))$ $s$ $a_{0}b_{0}$ $R$ $s$ $a_{0}$ $s$ $b_{0}$ $f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\ldots +a_{n}b_{ m}x^{n+m}$ $s$ $R$ $f(x)g(x)$ ${\displaystyle p\mid a_{n}b_{m))$ $R$ ${\displaystyle p\mid a_{n))$ ${\displaystyle p\mid b_{m))$ ${\displaystyle p\mid a_{n))$ $n=0$ $s$ $f(x)$ $n>0$ $s$ $f_{1}(x)g(x)$ $f_{1}(x)=f(x)-a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n-1}x^{n- en}$ $f(x)g(x)-f_{1}(x)g(x)=a_{n}x^{n}g(x)$ $a_n$ $s$ $s$ $f_1(x)$ $g(x)$ $s$ ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)+a_{n}x^{n))$ $m$ $n$

Lad os bevise det . Lad , , Hvor , være primitive polynomier. Så . Da polynomiet er primitivt af det beviste, så . Lemmaet er bevist. ${\displaystyle c_{f}c_{f}=c_{fg))$ ${\displaystyle f=c_{f}f_{0))$ $g=c_{g}g_{0}$ $f_0$ $g_{0}$ $fg=c_{f}c_{g}f_{0}g_{0}$ ${\displaystyle f_{0}g_{0))$ ${\displaystyle c_{fg}=c_{f}c_{g))$

Litteratur

Zarissky O., Samuel P., Kommutativ algebra, trans. fra engelsk, bind 1, M.