I gruppeteori bruges Tietze-transformationer til at transformere en original gruppedefinition til en anden, ofte enklere, definition af den samme gruppe . Transformationerne er opkaldt efter Heinrich Tietze , som foreslog dem i et papir fra 1908.
Gruppen er specificeret med hensyn til generatorer og relationer . Formelt set er en gruppedefinition et par bestående af et sæt generatorer og et sæt ord fra en fri gruppe over generatorer, som betragtes som relationer. Tietze-transformationer er bygget på elementære trin, som hver på en indlysende måde oversætter opgaven til opgaven for en isomorf gruppe . I 1908 viste Tietze, at enhver anden opgave kan opnås fra den oprindelige opgave for gruppe G ved gentagen anvendelse af de fire typer transformationer, der er præsenteret nedenfor [1] .
Hvis forholdet kan udledes af eksisterende nøgletal, så kan de tilføjes til opgaven uden at ændre gruppen. Lad G=〈 x | x 3 =1 〉 er den afsluttende opgave for en cyklisk gruppe af orden 3. Multiplicerer begge sider af x 3 =1 med x 3 , får vi x 6 = x 3 = 1, så x 6 = 1 kan udledes fra x 3 = 1. Så G=〈 x | x 3 =1, x 6 =1 〉er en anden opgave for den samme gruppe.
Hvis et nøgletal kan udledes af andre nøgletal, kan det fjernes fra jobbet uden at ændre gruppen. I opgaven G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1 〉 forholdet x 6 = 1 kan udledes af x 3 = 1, så det kan fjernes. Bemærk dog, at hvis vi fjerner relationen x 3 = 1 fra definitionen af gruppen, er definitionen G = 〈x | x 6 = 1 〉 definerer en cyklisk gruppe af orden 6 og definerer ikke længere den samme gruppe. Du skal være forsigtig og kun fjerne forholdet, hvis det kan udledes af de resterende forhold.
Med en gruppeopgave kan der tilføjes en ny generator, der er udtrykt som et ord i de originale generatorer. Startende fra specifikationen G = 〈x | x 3 = 1 〉 og ved at sætte y = x 2 , får vi en ny opgave G = 〈x , y | x 3 = 1, y = x 2〉 definerer den samme gruppe.
Hvis relationen er p = V , hvor p er en generator og V er et ord der ikke indeholder p , kan generatoren fjernes. I dette tilfælde skal alle forekomster af p med andre ord erstattes af V . Givet en elementær abelsk gruppe af orden 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y 2 =1, z 2 =1, x=x −1〉 kan erstattes af G = 〈y , z | y 2 = 1, z 2 = 1, ( yz ) = ( yz ) −1〉 ved at fjerne x .
Lad G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1 〉 er tildelingen af en symmetrisk gruppe af grad tre. Generatoren x svarer til permutationen (1,2,3) og generatoren y svarer til permutationen (2,3). Ved hjælp af Tietze-transformationerne kan vi oversætte denne opgave til G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y2 = 1, z2 = 1 〉, hvor z svarer til permutationen (1,2).
| G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1〉 | (oprindelig tilstand) |
| G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, z = xy〉 | Regel 3 - tilføj generator z |
| G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, x = zy〉 | Regel 1 og 2 - tilføj x = z y −1 = zy og fjern z = xy |
| G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1〉 | Regel 4 - fjern generator x |