Potentiel operatør

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. april 2019; verifikation kræver 1 redigering .

En potentiel operator er en matematisk operator , der kortlægger et åbent sæt af et reelt normeret rum i det dobbelte rum og er gradienten af en funktionel med en rækkevidde i det dobbelte rum.

Definition

Betegn — et reelt normeret rum, — dets dobbeltrum, — et åbent sæt fra . En operatør kaldes potentiale, hvis der for nogen eksisterer en funktionel sådan, at . Det funktionelle kaldes operatørens potentiale [1] . $E$ $E^{*}$ $EN$ $E$ $F:A\rightarrow E^{*}$ $x\i A$ $f(x)\in E^{*}$ $F(x)=gradf(x)$ $f(x)$ $F$

Potentalitetsbetingelse for operatører

Lad operatøren være Gateaux differentierbar ved hvert punkt i et konveks åbent sæt . Så hvis forskellen er kontinuert i hvert punkt af , Så for potentialitet i er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det er symmetrisk ved [2] . $F:E\rightarrow E^{*}$ $\omega \subset E$ $DF(x,h)$ $x$ $\omega$ $F$ $\omega$ $F$ $\omega$

Forklaringer

En operator kaldes symmetrisk ved et punkt, hvis den har en Gateaux-differentiale i et eller andet område af punktet, og ligheden gælder for enhver . $F:E\rightarrow E^{*}$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ $h_{1},h_{2}\in E$ $\langle DF(x_{0},h_{1})h_{2}\rangle =\langle DF(x_{0},h_{2})h_{1}\rangle$

Nemytsky-operatør

Nemytsky -operatoren er givet af formlen , hvor er en reel funktion , kontinuerlig i næsten alle faste og målbare som en funktion for hver faste , og uligheden $hu=g(u(x),x)$ $g(u,x)$ $u\in [-\infty ,+\infty ]$ $x\i B$ $x$ $u$ ${\displaystyle |g(u,x)|\leqslant a(x)+b|u|^{p-1))$ $p>1$ $a(x)\in L^{p}(B)$ $B$ $s$

Nemytskii-operatøren er en kontinuerlig potentiel operatør. Det virker fra Lebesgue -rummet til Lebesgue-rummet , hvor og dets potentiale bestemmes af formlen , hvor er et vilkårligt tal. $L^{p}(B)$ $L^{q}(B)$ $p^{-1}+q^{-1}=1$ $f$ $f(u)=f_{0}+\int _{B}dx\int _{0}^{u(x)}g(v,x)dv$ ${\displaystyle f_{0))$

Noter

↑ 1 2 Weinberg, 1979 , s. 65.
↑ Weinberg, 1979 , s. 66.

Litteratur

Weinberg M. M. Funktionsanalyse. - M . : Uddannelse, 1979. - 128 s.