Variabler af Mandelstam

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. juli 2019; checks kræver 2 redigeringer .

Mandelshtams variabler er tre skalære relativistiske invariante størrelser , der bevares i processen med spredning af to elementarpartikler med dannelsen af to nye eller bevarelsen af to gamle elementarpartikler eller i processen med henfald af en elementarpartikel til tre. Normalt omtalt som . De blev introduceret af den amerikanske fysiker Stanley Mandelstam (1928-2016) i 1958 [1] . Spredningsprocessen kan beskrives fuldt ud ved at specificere værdierne af kun to Mandelstam-variabler. Hver af dem er lig med kvadratet af den samlede energi af et par partikler i det koordinatsystem, hvor deres centrum er i hvile. [2] $s,t,u$

Definition

Lad os overveje processen med spredning af to elementarpartikler med energimomentvektorer og dannelse efter interaktion af to nye eller bevarelse af to gamle elementarpartikler med energimomentumvektorer . Forholdet mellem energi og masse er: ${\displaystyle p_{1},p_{2))$ ${\displaystyle p_{3},p_{4))$

p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2 }.

I rum-tid med en metrisk tager de formen $\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$

m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},

eller i relativistiske enheder $(c=1)$

m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.

Her er indekset for den elementære partikel. Bevarelsen af hver komponent af energimoment-vektoren er udtrykt ved ligningen: $i=1,2,3,4$

p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.

Fra denne ligning kan man udlede tre Mandelstam-variable i relativistiske enheder : $(c=1)$

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2))$
$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}$
$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}$

Egenskaber

Mandelstam-variablerne er relateret af relationen:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.

Konklusion

Til udledningen bruger vi to relationer:

Kvadraterne af de fire impulser er lig med kvadraterne af masserne:

p_{i}^{2}=m_{i}^{2}

Gem en fire-impuls:

p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}

p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}

På denne måde:

{\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2))

{\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3))

{\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4))

Ved at summere og erstatte massernes kvadrater får vi:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^ {2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}

Vi bemærker, at de sidste fire termer forsvinder på grund af den fire-momentum bevaring:

2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\ cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0

På denne måde:

{\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2))

Noter

↑ Mandelstam, S. Bestemmelse af pion-nukleonspredningsamplitude fra spredningsforhold og enhed // Fysisk gennemgang : tidsskrift . - 1958. - Bd. 112 , nr. 4 . - S. 1344 . - doi : 10.1103/PhysRev.112.1344 . - . Arkiveret 28. maj 2000.
↑ Ziman, 1971 , s. 226.

Litteratur

Ziman J. Moderne kvanteteori. - M . : Mir, 1971. - 288 s.