D'Alemberts paradoks

D'Alemberts paradoks  ( D'Alembert-Eulers paradoks ) er et udsagn i hydrodynamikken af ​​en ideel væske , ifølge hvilken, i en stationær (ikke nødvendigvis potentiel [1] [2] og ikke-separeret [1] [ 3] ) strømme rundt om et fast legeme ved en grænseløs translationel retlinet strømning, afvigelsesvæsken, forudsat at parametrene er justeret langt foran og bagved kroppen, er trækkraften nul.

Navnevariationer for paradokset

Sammen med navnet d'Alemberts paradoks [4] er der i den videnskabelige litteratur navne på d'Alembert-Euler paradoks , Euler-D'Alemberts paradoks [5] [6] og Eulers paradoks [7] .

Historisk baggrund

Sommerfeld [8] , med henvisning til Oseen , nævner Spinoza som en tidlig forsker af paradokset. Tilsyneladende taler vi om værket "Fundamentals of Descartes' philosophy, proved by a geometric method", hvor Spinoza analyserer de betingelser, hvorunder "en krop, for eksempel vores hånd, kunne bevæge sig i enhver retning med lige bevægelse, uden at i det mindste modvirkende andre instanser og uden at møde modstand fra andre instanser” [9] . I et særligt tilfælde af en strømning omkring et legeme symmetrisk om et tværgående plan inde i en kanal, blev forsvindingsmodstanden opdaget af d'Alembert i 1744 [10] . Generelt (for en krop med vilkårlig form) blev modstandskraftens forsvinden fastslået af Euler i 1745 [11] . Udtrykket " paradoks " blev første gang brugt af d'Alembert i 1768 til at karakterisere den forsvindende modstand [12] .

Forskellige versioner af d'Alemberts paradoks

I kraft af Galileos relativitetsprincip kan man også tale om d'Alemberts paradoks i tilfælde af translationel retlinet bevægelse af et legeme med konstant hastighed i et uendeligt volumen af ​​en ideel væske, som er i hvile i det uendelige.

Derudover gælder d'Alemberts paradoks for en strømning omkring et legeme indesluttet i en uendelig cylindrisk kanal.

Træk ved formuleringen af ​​d'Alemberts paradoks

Det er vigtigt at bemærke, at formuleringen af ​​paradokset kun refererer til fraværet af en komponent af kraften, der virker på kroppen, som er parallel med strømmen i det uendelige (fraværet af en modstandskraft ). Kraftkomponenten, der er vinkelret på strømmen ( løft ) kan være ikke-nul, selvom alle paradoksets betingelser er opfyldt (f.eks. er dette tilfældet for todimensionelle problemer: løftet beregnes ved hjælp af den velkendte Zhukovsky formel ).

Lad os være opmærksomme på, at momentet af kræfter, der virker på kroppen fra siden af ​​strømmen, generelt kan være forskelligt fra nul. I tilfælde af kontinuerlig strømning omkring en plade, der hælder mod strømmen, selv ved nul hastighedscirkulation (og følgelig ved nul løftekraft), opstår der således et kraftmoment, som har tendens til at rotere pladen hen over strømmen.

I nærvær af kropskræfter (for eksempel tyngdekraften) kan kroppen blive påvirket af Archimedes-kraften , men den kan ikke betragtes som en komponent af modstandskraften, fordi den ikke forsvinder i en væske i hvile.

Sager om krænkelse af d'Alembert-paradokset

Som det er velkendt, når en reel væskestrøm flyder rundt om et legeme, er der altid en modstandskraft, der ikke er nul, hvis tilstedeværelse forklares ved overtrædelsen af ​​visse betingelser inkluderet i formuleringen af ​​d'Alembert-paradokset. I særdeleshed,

• hvis væsken ikke er ideel (har en endelig viskositet), kan der opstå en modstandskraft, direkte eller indirekte relateret til virkningen af ​​viskøs friktion;
• hvis bevægelsen af ​​et legeme i en væske ikke er stationær, så opstår der selv i modellen af ​​en uviscid væske en inertimodstandskraft på grund af det faktum, at når kroppen bevæger sig med en variabel hastighed, opstår den kinetiske energi af den omgivende væske ændringer med tiden;
• hvis flowet ikke er kontinuerligt (f.eks. er der diskontinuitetsflader i flowet), så stemmer flowparametrene langt foran og bagved kroppen muligvis ikke, hvilket fører til modstand, der ikke er nul. Eksempler er
  • et legeme i en flad strømning, der genererer en kæde af koncentrerede hvirvler bag sig ( Karmans vortex-gademodel );
  • en vinge med begrænset spændvidde, hvorfra diskontinuitetsfladen af ​​den tangentielle komponent af hastigheden falder ned til det uendelige (det såkaldte hvirvelark); modstanden forbundet med dette fænomen kaldes induktiv;
  • dannelsen af ​​chokbølger i den supersoniske gasstrøm rundt om kroppen;
• hvis væsken ikke optager hele pladsen omkring kroppen, så kan d'Alemberts paradoks også blive overtrådt. Typiske eksempler er
  • dannelsen bag kroppen af ​​et hulrum, der går til det uendelige fyldt med en væske i hvile (skemaet med Kirchhoff-Helmholtz-jetstrømmen, der simulerer kavitationshulrummet);
  • dannelsen af ​​bølger på overfladen af ​​en væske ( gravitationsbølger på vand), hvis skabelse kræver energiomkostninger, hvilket fører til udseendet af bølgemodstand ; modstand på grund af udseendet af indre bølger, når et legeme bevæger sig i en lagdelt væske (f.eks. ved grænsen af ​​to væskelag med forskellige tætheder) har en lignende natur;
• hvis flowparametrene langt foran og bagved kroppen ikke udlignes, så kan trækkraften også være ikke-nul. Dette er især tilfældet, når termisk energi tilføres strømmen, eller når der dannes et område ("spor") bag kroppen, hvor parametrene adskiller sig fra parametrene i hovedstrømmen i det uendelige.

Eksperimentelle resultater

Hvis vi skaber forhold, hvor flowet rundt i kroppen vil være tæt nok på forholdene i formuleringen af ​​d'Alembert-paradokset, for eksempel giver kroppen en strømlinet (dråbeformet eller ellipseformet) form, så er det muligt at opnå en betydelig - titusindvis og hundredvis af gange - reduktion af modstand sammenlignet med dårligt strømlinet (for eksempel, i form af en terning) af kroppe med samme midtersektion . Ovenstående gælder for strømme ved høje Reynolds-tal ; i det modsatte tilfælde af små Reynolds-tal (de såkaldte krybende strømme ) kan modstanden af ​​aflange dråbeformede legemer med et stort overfladeareal tværtimod være større end modstanden af ​​"dårligt strømlinede" legemer.

Når partikler bevæger sig i faste stoffer , er effekten af ​​"superdyb penetration" kendt [13] . En af forklaringerne på denne effekt svarer kvalitativt til d'Alembert-paradokset: faldet i modstand opnås på grund af det faktum, at partiklens påvirkning på dets miljø under visse forhold reduceres (kanalen dannet bag partiklen kollapser [ 14] [15] , og der er kun plastiske deformationerbetydelige [16] ).

Litteratur

• Grimberg G., Pauls W., Frisch U. Genesis of d'Alemberts paradoks og analytiske uddybning af  trækproblemet // Physica D. - 2008. - T. 237 .

Links

• D'Alembert - Euler paradoks - artikel fra Great Soviet Encyclopedia . 

Se også

• Dubois paradoks

Noter

1. ↑ 1 2 "Når man beviser d'Alembert-paradokset generelt, antages det ikke, at bevægelsen af ​​en væske er potentiel, og at der ikke er nogen endelige hulrum i væsken fyldt med gas, damp eller væske" ( Sedov L.I. Continuum Mechanics . - M . : Nauka, 1970. - T. 2. - S. 74. - 568 s. ).
2. ↑ Cherny G. G. Gasdynamik . - M . : Nauka, 1988. - S. 118-120. — 424 s. — ISBN 5-02-013814-2 .
3. ↑ “Hvis hulrummet havde en endelig længde, så ville, baseret på den velkendte egenskab ved en stabil irrotationsbevægelse <...> modstandskraften, der virker fra siden af ​​væsken på kroppen sammen med hulrummet, være lig med nul og ville derfor være lig med nul og modstandskraften, der virker på kroppen”( Batchelor J. Introduction to fluid dynamics / Oversat fra engelsk under redaktion af G. Yu. Stepanov . - M . : Mir, 1973. - S. 614. - 760 s. ).
4. ↑ Sedov, s. 71.
5. ↑ Sort, s. 120.
6. ↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Teoretisk hydromekanik . - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 1. - 584 s.
7. ↑ Chaplygin S. A. Resultaterne af teoretiske undersøgelser om flyvemaskiners bevægelse // Udvalgte værker. Mekanik af væske og gas. Matematik. Generel mekanik. - M . : Nauka, 1976. - S. 131-141 .
8. ↑ Sommerfeld A. Mekanik af deformerbare medier / Pr. med ham. E. M. Lifshitz . - M. : IL , 1954. - S. 264. - 488 s.
9. ↑ Spinoza B. [libgen.org/book/index.php?md5=BC592FA6208C2CF7A4852EDBDD999B7C Udvalgte værker i to bind] / Generel udg. og intro. artikel af V. V. Sokolov. - M .: Politizdat , 1957. - T. 1. - S. 256. - 632 s.  (utilgængeligt link)
10. ↑ Punkt 247 og fig. 77 i bogen: D'Alembert. Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides . — 1744.
11. ↑ Euler L. Nyt grundlag for artilleri  // Udg. BN Okunev Forskning i ballistik. - M. : Fizmatlit, 1961. - S. 7-452 .
12. ↑ D'Alembert. Paradoxe proposé aux Géomètres sur la resistance des fluides  // Opuscules mathématiques. - Paris, 1768. - T. 5 . - S. 132-138 .
13. ↑ Kozorezov K. I., Maksimenko V. N., Usherenko S. M. Undersøgelse af virkningerne af interaktion mellem diskrete mikropartikler med et fast stof // Udvalgte spørgsmål om moderne mekanik. - M . : Forlag i Moskva. un-ta, 1981. - S. 115-119 .
14. ↑ Grigoryan S.S. Om arten af ​​"superdyb" penetration af faste mikropartikler i faste materialer // DAN USSR. - 1987. - T. 292 , nr. 6 . - S. 1319-1323 .
15. ↑ Cherny G.G. Mekanismen for unormalt lav modstand under bevægelse af kroppe i faste medier // DAN SSSR. - 1987. - T. 292 , nr. 6 . - S. 1324-1328 .
16. ↑ Kiselev S.P., Kiselev V.P. Om mekanismen for superdyb indtrængning af partikler i en metalbarriere  // Prikl. - 2000. - T. 41 , nr. 2 . - S. 37-46 .