Optisk sætning

Den optiske sætning er en relation i bølgeteorien for spredning, der relaterer spredningsamplituden og spredningstværsnittet . $f(\theta )$ $\sigma$

Den optiske sætning er formuleret som følger:

\sigma ={\frac {4\pi }{k}}\operatørnavn {Im} f(0),

hvor er den fremadgående spredningsamplitude, er det totale spredningstværsnit og er bølgevektoren for den indfaldende bølge. Da sætningen er en konsekvens af loven om energibevarelse (sandsynlighed i kvantemekanik), er det et ret generelt udsagn med en bred vifte af anvendelser. $f(0)$ $\sigma$ $k$

En mere generel form for teoremet:

f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi } }\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\omega ''.

Bevis

Asymptotisk form af spredningsamplituden ved store afstande:

\psi \approx e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}+{\frac {1}{r}}f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')e^{ikr},

hvor er retningen for partikelindfald og er spredningsretningen. $\mathbf n$ $\mathbf {n} '$

Enhver lineær kombination af funktioner med forskellige incidensretninger repræsenterer også en mulig spredningsproces. Ved at multiplicere med vilkårlige koefficienter og integrere over alle retninger får vi en sådan lineær kombination i form af et integral $\psi$ $\psi$ $F(\mathbf {n} )$ $\mathbf n$

\int F(\mathbf {n} )e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}\,d\Omega +{\frac {e^{ikr}}{r }}\int F(\mathbf {n} )f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')\,d\Omega .

Da afstanden er stor, er faktoren i det første integral en hurtigt oscillerende funktion af retningen af den variable vektor . Værdien af integralet bestemmes derfor hovedsageligt af områder nær de værdier , hvor eksponenten har et ekstremum ( ). I hver af disse regioner kan faktoren tages ud af integraltegnet, hvorefter integrationen giver $r$ ${\displaystyle e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')))$ $\mathbf n$ $\mathbf n$ $\mathbf {n} \pm \mathbf {n} '$ $F(\mathbf {n} )\approx F(\pm \mathbf {n} ')$

2\pi iF(-\mathbf {n} '){\frac {e^{-ikr}}{kr}}-2\pi iF(\mathbf {n} '){\frac {e^ {ikr}}{kr}}+{\frac {e^{ikr}}{r}}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\, d\Omega .

Lad os omskrive dette udtryk i en mere kompakt form og udelade den fælles faktor : $2\pi i/k$

{\frac {e^{-ikr}}{r}}F(-\mathbf {n} ')-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\hat {S}} F(\mathbf {n} '),

hvor

{\hat {S}}=1+2ik{\hat {f)),

a er en integral operator: ${\hat {f))$

{\hat {f}}F(\mathbf {n} ')={\frac {1}{4\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F (\mathbf {n} )\,d\Omega .

Det første led i bølgefunktionen beskriver en bølge, der konvergerer mod midten, og det andet beskriver en bølge, der divergerer fra midten. Bevarelsen af antallet af partikler i elastisk spredning er udtrykt ved ligheden mellem de samlede fluxer af partikler i konvergerende og divergerende bølger. Disse bølger skal med andre ord have samme normalisering. Til dette skal spredningsoperatoren være ensartet , dvs. ${\hat {S))$

{\hat {S}}{\hat {S}}^{+}={\hat {1)),

eller (under hensyntagen til udtrykket for ): ${\hat {S))$

{\hat {f}}-{\hat {f}}^{+}=2ik{\hat {f}}{\hat {f}}^{+}.

Til sidst, under hensyntagen til definitionen af , opnår vi påstanden om sætningen: ${\hat {f))$

f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi } }\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\Omega ''.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). — Udgave 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretisk fysik ", bind III). - ISBN 5-02-014421-5 .