Implicit overflade

En implicit overflade er en overflade i det euklidiske rum defineret af ligningen

F(x,y,z)=0.

Den implicitte overflade er sættet af nuller af en funktion af tre variable. Udtrykket implicit betyder her, at ligningen ikke er løst for nogen af variablerne x , y eller z .

Grafen for en funktion er normalt beskrevet af en ligning, og en sådan repræsentation kaldes eksplicit . Den tredje vigtige måde at beskrive en overflade på er den parametriske repræsentation , hvor x- , y- og z - koordinaterne for overfladepunkterne er repræsenteret af tre funktioner afhængigt af de generelle parametre . Normalt sker ændring af repræsentationen af en overflade kun, hvis en eksplicit repræsentation er givet . Så vil de to andre repræsentationer være (implicitte) og (parametriske). $z=f(x,y)$ $(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$ $x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)$ $s,t$ $z=f(x,y)$ $zf(x,y)=0$ $(s,t,f(s,t))$

Eksempler :

fly $x+2y-3z+1=0.$
kugle $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.$
torus $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2} +y^{2})=0.$
Slægt 2 overflade : (se figur). $2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2} }-1)(1-z^{2})=0$
Revolutionens overflade (se billedglas ). $x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0{,}02=0$

Der er en simpel parametrisk repræsentation for planet, sfæren og torus, hvilket ikke er sandt for det fjerde eksempel.

Den implicitte funktionssætning beskriver de betingelser, hvorunder en ligning kan løses (i det mindste implicit) for x , y eller z . Men i det generelle tilfælde eksisterer der muligvis ikke en eksplicit løsning. Denne teorem er nøglen til at beregne vigtige geometriske egenskaber for en overflade, såsom tangentplaner , overfladenormaler , krumninger (se nedenfor). Disse overflader har dog en betydelig ulempe - deres visualisering er vanskelig. $F(x,y,z)=0$

Hvis er et polynomium i x , y og z , siges overfladen at være algebraisk . Eksempel 5 er ikke en algebraisk overflade. $F(x,y,z)$

På trods af vanskeligheden ved visualisering giver implicitte overflader relativt simple teknikker til deres teoretiske generering (f.eks. Steiner-overflade ) og overflader af interesse til praktiske formål (se nedenfor).

Formler

Under de følgende konventioner er den implicitte overflade repræsenteret af ligningen , hvor funktionen opfylder de nødvendige differentiabilitetsbetingelser. Nedenfor vil vi betegne de partielle afledte af funktionen som . $F(x,y,z)=0$ $F$ $F$ $F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots$

Tangentplan og normalvektor

Et punkt på overfladen siges at være regulært , hvis og kun hvis gradienten af funktionen i punktet ikke er lig med nulvektoren , hvilket betyder $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $F$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $(0,0,0)$

(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z} (x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)

Hvis et punkt på overfladen ikke er regulært, kaldes det singular (begrebet singular point bruges også). $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Tangentplansligning på et regulært punkt $(x_{0},y_{0},z_{0})$

F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0 })(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,

og normalvektorligningen

\mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y }(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.

Normal krumning

For at gøre formlerne nemmere er argumenterne i formlen nedenfor udeladt. Derefter $(x_{0},y_{0},z_{0})$

\kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatørnavn {grad} F\|}}

er den normale krumning af overfladen i et regulært punkt for en enheds tangentretningsvektor . er hessian for funktionen (matrix af anden afledte). $\mathbf {v}$ $H_{F}$ $F$

Beviset for denne formel bygger (som i tilfældet med en implicit kurve) på den implicitte funktionssætning og formlen for den normale krumning af en parametrisk overflade .

Anvendelser af implicitte overflader

Som i tilfældet med implicitte kurver er det let at skabe implicitte overflader af den ønskede form ved hjælp af algebraiske operationer (addition, multiplikation) af simple primitiver.

Equipotential overflade af to punktladninger

En punktladning i et punkt danner et potentiale i et punkt (fysiske konstanter udeladt) $q_{i}$ $\mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\mathbf {p} =(x,y,z)$

F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.

Den ækvipotentiale overflade for den potentielle værdi er en implicit overflade , som er en kugle centreret i et punkt . $c$ $F_{i}(x,y,z)-c=0$ ${\mathbf p}_{i}$

Potentialet for fire punktladninger beregnes ved formlen

F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{ 2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _ {3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.

På figuren har fire ladninger størrelsesordenen 1 og er placeret ved punkter . Den viste overflade er en ækvipotentialflade (implicit overflade) . $(\pm 1,\pm 1,0)$ $F(x,y,z)-2{,}8=0$

Overfladen af det konstante produkt af afstande

En Cassini-oval kan defineres som et sæt punkter, hvor produktet af afstande fra to givne punkter er konstant (i modsætning til en ellipse, hvor summen af afstande er konstant). På samme måde kan implicitte overflader defineres som et konstant produkt af afstande fra nogle faste punkter.

I metamorfosefiguren er den øverste venstre overflade dannet i henhold til denne regel. Denne overflade er den plane overflade af funktionen , hvor $F(x,y,z)-1{,}1=0$

{\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2 ))}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2))}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+( y-1)^{2}+z^{2))}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2))}{\Big )} \end{aligned}}

Metamorfoser af implicitte overflader

En anden simpel metode til at skabe nye implicitte overflader kaldes implicit overflademetamorfose :

For to implicitte overflader (i figuren er dette overfladen af det konstante produkt af afstande og torus) defineres nye overflader ved hjælp af parameteren : $F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0$ $\mu \i [0,1]$

F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0

Figuren viser overflader med parameterværdier . $\mu =0,\,0{,}33,\,0{,}66,\,1$

Glat tilnærmelse af nogle implicitte overflader

$\Pi$ -overflader [1] kan bruges til at tilnærme ethvert glat og afgrænset objekt i , hvis overflade er defineret af et polynomium, der er lig med produktet af andre polynomier. Med andre ord kan vi skabe et hvilket som helst glat objekt med en enkelt algebraisk overflade. Lad os betegne polynomierne som . Derefter bestemmes det tilnærmede objekt af polynomiet $R^{3}$ $f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)$

F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r

[en]

hvor definerer blandingsparameteren, der styrer tilnærmelsesfejlen. $r\in \mathbb {R}$

På samme måde som den jævne tilnærmelse af implicitte kurver, ligningen

F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)- r=0

repræsenterer, for passende parametre, jævne tilnærmelser af tre skærende tori ved ligningerne $c$

{\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}- 4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+ R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x ^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2} })=0.\end{aligned}}

(På figuren er parametrene ens ) $R=1,\,a=0{,}2,\,r=0{,}01.$

Visualisering af implicitte overflader

Der er adskillige algoritmer til at gengive implicitte overflader [3] , inklusive " marching cubes " -algoritmen [4] . Faktisk er der to ideer til at gengive implicitte overflader - den ene skaber et netværk af polygoner, som derefter tegnes (se Triangularisering af en overflade ), og den anden er afhængig af strålesporing , når skæringspunkter mellem stråler med en overflade bestemmes [5] .

Se også

implicit kurve

Noter

↑ 12 Raposo , Gomes, 2019 .
↑ POV-Ray ( engelsk: The Persistence of Vision Ray-Tracer ) bruger omvendt strålesporing til at skabe 3D fotorealistiske billeder. Scenen i POV-Ray er beskrevet i SDL ( Eng. Scene Description Language ) - et fortolket programmeringssprog med en C-lignende syntaks. Ved hjælp af SDL indstiller brugeren kameraets position, lyskilder, placering af objekter og deres egenskaber, atmosfæriske effekter osv. Se artiklen Videnskabelige illustrationer i POV-Ray Arkiveret 20. december 2019 på Wayback Machine
↑ Bloomenthal, Bajaj, Wyvill, 1997 .
↑ Stephenson, 2004 .
↑ Haines, Akenine-Møller, 2019 .

Litteratur

Adriano N. Raposo, Abel JP Gomes. Pi-overflader: produkter af implicitte overflader mod konstruktiv sammensætning af 3D-objekter // Journal of WSCG. - 2019. - arXiv : 1906.06751 . (International konference i Centraleuropa om computergrafik, visualisering og computersyn)

Jules Bloomenthal, Chandrajit Bajaj, Brian Wyvill. Introduktion til implicitte overflader . - Morgan Kaufmann, 1997. - ISBN 978-1-55860-233-5 .
Ian Stephenson. Produktionsgengivelse: Design og implementering . - Springer Science & Business Media, 2004. - ISBN 978-1-85233-821-3 .
Eric Haines, Tomas Akenine-Møller. Ray Tracing Gems. - Springer, 2019. - ISBN 978-1-4842-4427-2 .
Gomes A., Voiculescu I., Jorge J., Wyvill B., Galbraith C. Implicitte kurver og overflader: matematik, datastrukturer og algoritmer . — London: Springer-Verlag, 2009. — ISBN 978-1-84882-405-8 .
Thorpe JA elementære emner i differentiel geometri. - New York: Springer-Verlag, 1979. - (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-90357-7 .
- Thorp J. Indledende kapitler af differentialgeometri. - "Mir", 1982. - (Moderne matematik. Introduktionskurser).