Jackson-Stechkin ulighed

Jackson-Stechkin-uligheden forbinder værdien af den bedste tilnærmelse af en funktion af en eller anden klasse af funktioner med egenskaberne af denne funktion, normalt med værdien af kontinuitetsmodulet for denne funktion på et bestemt punkt. Eksempel:

E_{n}(f)_{L^{2}}<K\omega _{f}(\delta ).

I eksemplet estimeres værdien af den bedste tilnærmelse af en funktion ved polynomier af grad i rummet ovenfra gennem værdien af funktionens kontinuitetsmodul i punktet . Størrelsen kaldes Jackson-konstanten . Spørgsmålet om den mindste værdi af denne mængde (omkring den "nøjagtige Jackson-konstanten") er som regel meget vanskeligt. I tilfælde, hvor det er løseligt, kaldes den minimale konstant, for hvilken uligheden forbliver gyldig, Chernyh-punktet , hvilket også er ikke-trivielt at finde. $f$ $n$ $L^{2}$ $f$ $\delta$ $K$ $\delta$

Historie

For første gang blev en ulighed af denne type opnået af D. Jackson ( engelsk Dunham Jackson ) i 1911 i tilfælde af tilnærmelse af periodiske funktioner ved trigonometriske polynomier . Det viste han

E_{n}(f)\leqslant c\omega \left(f,\;{\frac {1}{n))\right)

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{r}}{n^{r}}}\omega \left(f^{(r)},\;{\frac {1} {n}}\right).

Her er værdien af den bedste tilnærmelse af funktionen i den ensartede metriske ved trigonometriske polynomier af grad . I den første ulighed antages funktionen at være kontinuert , og i den anden - gange differentierbar. $E_{n}(f)$ $f$ $n-1$ $f$ $r$

I 1945 opnåede Sigmund lignende uligheder ved at bruge anden ordens kontinuitetsmodul, i 1947 var akademiker S. N. Bernshtein i stand til at bruge rækkefølgen kontinuitetsmodul . I 1949 generaliserede S. B. Stechkin alle tidligere resultater og fastslog (ved en anden metode end Jackson), at $k$

E_{n}(f)\leqslant c_{k}\omega _{k}\left(f,\;{\frac {1}{n))\right)

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{k+r}}{n^{r}}}\omega _{k}\left(f^{(r)},\; {\frac {1}{n}}\right).

Her afhænger konstanterne ikke af , eller . Som et resultat, i den hjemlige litteratur, begyndte uligheden at blive kaldt Jackson-Stechkin- uligheden, og lignende uligheder begyndte at blive kaldt Jackson-Stechkin-type uligheder . $c_{k}$ $f$ $n$ $r$

I 1961 påpegede N.P. Korneichuk den nøjagtige Jackson-konstant i den første ulighed:

E_{n}(f)<1\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi}{n))\right).

I 1967 opnåede Stechkin Jacksons ulighed i rum for alle : $L_{p}$ $p\in [1,\;\infty )$

E_{n}(f)_{p}<{\frac {3}{2}}\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n}}\right) _{p}.

Senere var et stort antal matematikere i forskellige lande engageret i dette emne (og er stadig engageret i det), lignende uligheder blev opnået for forskellige rum , tilnærmelse af klasser og kontinuitetsmoduler .