Wirtingers ulighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. marts 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Historisk set blev Wirtinger- uligheden kaldt uligheden i følgende sætning:

Lad en funktion f : R → R være kontinuerligt differentierbar og 2π -periodisk , og lad

\int \limits _{0}^{2\pi }f(x)dx=0

Derefter

\int \limits _{0}^{{2\pi }}f^{2}(x)dx\leq \int \limits _{0}^{{2\pi }}f'^{2}( x)dx

og lighed opnås hvis og kun hvis

f(x)=a\sin x+b\cos x

, for nogle a og b

eller, som er det samme,

f(x)=c\sin(x+d)

for nogle c og d .

Denne ulighed blev brugt i beviset for det største arealfigursætning for en fast omkreds .

Den aktuelle tilstand af problemet

Det er let at se, at Wirtinger-uligheden relaterer normerne i det afledte rum og selve funktionen: $L^{2}$

{\|f\|}_{{L^{2}}}^{2}\leq {\|f'\|}_{{L^{2}}}^{2}

I denne form er uligheden en endimensionel analog til Friedrichs ulighed .

Det er klart, at man kan forsøge at finde en lignende ulighed for forskellige (og endda forskellige) normer på højre og venstre side af uligheden. Dette problem er blevet intensivt undersøgt af mange matematikere, det er tilstrækkeligt at sige, at der i en oversigtsartikel om Wirtinger-uligheden, blev mere end 200 referencer til forskellige forfatteres værker. I mange tilfælde findes både eksakte konstanter, som skal placeres foran den afledte norm, og ekstremalfunktioner, hvorpå uligheden bliver til lighed.