Bernsteins ulighed (matematisk analyse)

Bernsteins ulighed relaterer normen for den afledte af et polynomium til normen for selve polynomiet.

Ordlyd

Lad være et reelt værdisat trigonometrisk polynomium af grad , så: $f_n$ $n$

{\displaystyle \|f_{n}'\|_{\infty }\leqslant n\cdot \|f_{n}\|_{\infty ))

Uligheden med en konstant blev fastslået af den russiske matematiker Sergei Natanovich Bernstein i 1912. $2n$
En forfining blev opnået af Edmund Landau , som beviste uligheden med en optimal konstant . $n$
I 1914 udvidede Marcel Ries den sidstnævnte ulighed til at omfatte trigonometriske polynomier med vilkårlige komplekse koefficienter.
A. Sigmund i 1933 overførte det til rum $L^{p}$ med : $p\geqslant 1$ $\|f_n'\|_p \leqslant n\|f_n\|_p$ .
V. V. Arestov i 1979 beviste gyldigheden af uligheden og for . $0<p<1$
Hertil kommer de såkaldte Bernstein-uligheder for forskellige metrikker af formen

\|f_n'\|_p \leqslant C(n, p) \|f_n\|_\infty