Arten af ​​grupperepræsentationen

Grupperepræsentationens natur er en funktion på gruppen, der returnerer sporet (summen af ​​de diagonale elementer) af matricen svarende til det givne element i repræsentationen [1] [2] .

Normalt betegnet med bogstavet [3] .

Teorien om karakterer beskæftiger sig med studiet af repræsentationer gennem deres karakterer .

Definition

Hvis er en endelig dimensionel repræsentation af gruppen , så er arten af ​​denne repræsentation en funktion fra til sættet af komplekse tal, givet af sporet af en lineær transformation svarende til elementet . Generelt set er et spor ikke en homomorfi, og sættet af spor danner ikke en gruppe.

Egenskaber

• Karaktererne for ækvivalente repræsentationer falder sammen [2] .
• Isomorfe repræsentationer har de samme karakterer [4] .
• Karakterer af irreducerbare ikke-isomorfe repræsentationer af en endelig gruppe danner et ortonormalt system af funktioner [2] [5] .
• Den skalære kvadrat af karakteren af ​​en irreducerbar repræsentation er lig med en [2] .
• Karakteren af ​​en reducerbar repræsentation er lig med summen af ​​karaktererne af alle irreducible repræsentationer, der forekommer i den [2] [4] .
• To repræsentationer med de samme tegn er ækvivalente [2] [6] .
• Hvis repræsentationen kan reduceres, så er den skalære kvadrat af dens karakter større end én [7] .
• Gensidigt konjugerede elementer har grupper og tegn ens [7] .
• Sæt af tegn af alle irreducerbare repræsentationer er komplet i det lineære rum af funktioner defineret på klasserne af konjugerede elementer [7] .
• For ethvert element i gruppen [8] .
• For at en repræsentation er irreducerbar, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at skalarkvadraten af ​​dens karakter er lig med [9] .

Noter

1. ↑ Van der Waerden, 2004 , s. 62.
2. ↑ 1 2 3 4 5 6 Lyubarsky, 1958 , s. 56.
3. ↑ Golovina, 1975 , s. 366.
4. ↑ 1 2 Golovina, 1975 , s. 367.
5. ↑ Golovina, 1975 , s. 369.
6. ↑ Van der Waerden, 2004 , s. 64.
7. ↑ 1 2 3 Lyubarsky, 1958 , s. 57.
8. ↑ Golovina, 1975 , s. 368.
9. ↑ Golovina, 1975 , s. 372.

Litteratur

• Lyubarsky G. Ya. Gruppeteori og dens anvendelse i fysik. — M .: Nauka, 1958. — 354 s.
• Van der Waerden BL Metode til gruppeteori i kvantemekanik. — M. : Redaktionel URSS, 2004. — 200 s.
• Golovina L. I. Lineær algebra og nogle af dens anvendelser. — M .: Nauka, 1975. — 407 s.