Minimax eversion

Minimax eversion  er en klasse af sfære eversion ved hjælp af mellemliggende modeller .

Dette er en variationsmetode og består af specielle homotopier (som er de korteste veje i Willmore-energien ).

Den oprindelige metode med mellemmodeller var ikke optimal - regulære homotopier går gennem mellemmodeller, men vejen fra den runde kugle til den mellemliggende model blev bygget manuelt og var ikke en gradient opstigning/nedstigning.

Eversion gennem mellemmønstre kaldes purse-string eversion [1] .

Mellemliggende modeller

Mellemmodellen er kuglens nedsænkning i og det kaldes det, fordi det er en mellemfase af kuglens eversion . Denne inversionsklasse har tidssymmetri - den første halvdel af den regulære homotopi kortlægger den regulære runde sfære til den mellemliggende model, og den anden halvdel (som kortlægger den mellemliggende model til den vendte sfære) er den samme proces omvendt.

Forklaring

Rob Kushner foreslog en optimal version af eversion ved hjælp af Willmore-energien på rummet af alle nedsænkninger af sfæren i . En rund kugle og en omvendt rund kugle er de eneste globale minima for Willmore-energien, og en minimax-inversion er en sti, der forbinder disse tilstande gennem et saddelpunkt (svarende til at rejse mellem to dale via en bjergsti) [2] .

Mellemliggende Kushner-modeller er sadelpunkter for Willmore-energien, der opstår (ifølge Brians sætning) fra visse komplette minimale overflader i tredimensionelt rum. En minimax eversion består af en gradientstigning fra en rund kugle til en mellemmodel, derefter en gradientnedstigning til en krænget kugle (gradientnedstigning på Willmore-energien kaldes Willmore-strømmen ). Mere symmetrisk, start med en mellemmodel, bevæg dig i én retning og gå ned ad Willmore-strømmen til en cirkulær sfære, bevæg dig derefter i den modsatte retning ned ad Willmore-strømmen til en krænget sfære.

Der er to familier af mellemmodeller (denne observation skyldes Francis og Morin):

• ulige rækkefølge: en generalisering af drengens overflade : 3-fold, 5-fold osv. symmetri. Den mellemliggende model er et dobbelt dækket projektivt plan (generelt en 2-1 indlejret kugle).
• jævn orden: en generalisering af Morin-overfladen : 2-fold, 4-fold osv. symmetri. Den mellemliggende model er generelt en 1-1 indlejret kugle, og en halv omgang ombytter kuglens overflader.

Historie

Den første veldefinerede sfære-eversion blev foreslået af Shapiro og Phillips i begyndelsen af ​​1960'erne, ved at bruge Boy-overfladen som en mellemmodel. Morin opdagede senere overfladen (nu opkaldt efter ham) og brugte den til at konstruere andre inversioner af kuglen. Kushner kom med minimax eversion i begyndelsen af ​​1980'erne - historiske detaljer .

Noter

1. ↑ Carter, 2012 , s. 17.
2. ↑ Emmer, 2005 , s. 485.

Litteratur

• Bending Energy and the Minimax Eversions (i John M. Sullivans " The Optiverse" and Other Sphere Eversions )
• Michele Emmer. Det visuelle sind II . - MIT Press, 2005. - ISBN 978-0-262-05076-0 .
• J. Scott Carter. En udflugt i diagrammatisk algebra: At vende en kugle fra rød til blå . - World Scientific, 2012. - ISBN 978-981-4374-50-7 .