Billedmetode

Billedmetode ( spejlbilledemetode ) er en af metoderne i matematisk fysik , der bruges til at løse grænseværdiproblemer for Helmholtz -ligningen , Poisson-ligningen , bølgeligningen og nogle andre.

Essensen af billedmetoden er, at det oprindelige problem med at finde feltet af givne (ydre) kilder i nærvær af grænseflader reduceres til at beregne feltet for de samme og nogle yderligere (fiktive) kilder i et uendeligt miljø, som er placeret uden for feltet for at finde det oprindelige problems felt. Disse yderligere kilder kaldes billedkilder . Reglerne for deres konstruktion ligner fuldstændig dem, der bruges til at konstruere billeder af punktkilder i optik i et system af spejle (her gentager spejlene formen på grænsefladerne). Størrelsen af billedkilder bestemmes af grænseforholdene på overfladerne, samt af kravene til feltets ensartethed skabt af et reelt system af kilder og overflader, og et system sammensat af virkelige kilder og fiktive billedkilder i rummet tæt på de rigtige kilder.

Ved hjælp af billedmetoden løses normalt problemer, hvor hver given punktkilde kan associeres med et endeligt system (nogle gange en uendelig diskret række) af samme type punktkilder-billeder. Derfor er billedmetoden mest udbredt inden for elektrostatik. Billedmetoden kan også udvides til en bredere klasse af grænser og randbetingelser inden for rammerne af metoden for geometrisk optik ved en tilstrækkelig lille bølgelængde og nogle kortbølgelængdetilnærmelser, der forfiner den. I dette tilfælde er det reduceret til at konstruere et mønster af stråler og geometrisk-optiske billeder.

Eksempel 1: Punktladning og ledende plan

Lad punktladningen være placeret i en afstand fra det ledende plan. Det er nødvendigt at bestemme den kraft, hvormed flyet virker på ladningen. $q$ $-en$

Lad os introducere et lige og modsat ladningsbillede på den anden side af planet i samme afstand. Tiltrækningskraften mellem en reel ladning og en billedladning bestemmes af Coulombs lov :

F=k{\frac {q^{2}}{4a^{2}}}

Eksempel 2: Punktladning nær en grænseflade mellem to dielektrika

Lad en punktladning være placeret i en afstand fra en flad grænseflade mellem to dielektrika med permeabiliteter og . Det er nødvendigt at bestemme den kraft, der virker på ladningen. $q$ $-en$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$

Lad os introducere et ladningsbillede fra den anden side af flyet i samme afstand. Ud fra brydningsloven bestemmer vi størrelsen af denne ladning: ${\displaystyle q^{\prime ))$

{\frac {q-|q^{\prime }|}{q+|q^{\prime }|}}={\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}} }

Tiltrækningskraften mellem en reel ladning og en billedladning bestemmes af Coulombs lov :

F=k{\frac {q\cdot |q^{\prime }|}{(2a)^{2}}}=k{\frac {q^{2}}{4a^{2} }}{\frac {\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}

Gyldigheden af spejlbilledmetoden bevises ved hjælp af entydighedssætningen til løsning af den tilsvarende differentialligning ( Poissons ligning i tilfælde af elektrostatik) under visse grænsebetingelser .

Inden for elektrostatik gør metoden det let at beregne fordelingen af et elektrisk felt i et volumen mellem et sæt elektriske ladninger og ledende overflader af en bestemt form, samt mellem elektriske ladninger og dielektriske overflader. I det enkleste tilfælde, når en elektrisk ladning er placeret over et ledende plan (fig. 1), er det elektriske felt mellem ladningen og overfladen identisk med feltet mellem denne ladning og dets modsat ladede spejlbillede. Gyldigheden af en sådan udskiftning følger af betingelsen om fravær af den tangentielle komponent af den elektriske feltstyrkevektor på overfladen af lederen, eller med andre ord følger af det faktum, at feltpotentialet er det samme på ethvert punkt af den ledende overflade [1] . Herfra er det også tydeligt, at vekselvirkningskraften mellem ladningen og planet er lig vekselvirkningskraften mellem den faktiske ladning og dens spejlbillede, og også at denne vekselvirkningskraft er tiltrækningskraften.

På samme måde gør spejlbilledemetoden det muligt at beregne magnetfeltet af jævnstrøm placeret over et ledende eller dielektrisk plan.

Derudover giver metoden i magnetostatik dig mulighed for at beregne magnetfeltet i volumenet mellem et sæt magnetiske dipoler (eller en eller anden kilde til et eksternt magnetfelt) og overfladen af en ideel superleder (se Meissner-effekten ). Her, i det simpleste tilfælde af en magnetisk dipol over et superledende plan (fig. 2), er feltet fra skærmede superledende strømme uden for superlederen ækvivalent med feltet af den reflekterede dipol. Gyldigheden følger af betingelsen om fravær af den normale komponent af magnetfeltet på overfladen af superlederen. Kraften af interaktion mellem en magnet og en ideel superleder er frastødende. Der er også en generalisering af metoden - metoden til frosne spejlbilleder , som også er anvendelig til superledere med stærk pinning .

Metoden bruges ofte til at beregne andre felter, såsom væske- eller varmestrømme. [2]

Noter

↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. Bind 5: Elektricitet og magnetisme. Oversættelse fra engelsk (bind 3). — Redaktionel URSS. — ISBN 5-354-00703-8
↑ Elektrostatiske analogier (utilgængeligt link)

Litteratur

Kupalyan SD Teoretisk grundlag for elektroteknik. Del 3, Elektromagnetisk felt. - M., 1970.
Bessonov L. A. Teoretisk grundlag for elektroteknik. - M .: "Højskole", 1967.

Billedmetode

Noter

Litteratur

Links