Lineært rum (geometri)

Lineært rum er den grundlæggende struktur for incidensgeometri . Et lineært rum består af et sæt elementer kaldet punkter og et sæt elementer kaldet linjer . Hver linje er en anden delmængde af punkter. Punkterne på en linje siges at være sammenfaldende med linjen. Enhver to linjer kan højst have ét fælles punkt. Intuitivt kan denne regel demonstreres som to linjer i det euklidiske plan, der aldrig skærer hinanden i mere end ét punkt.

(Endelige) lineære rum kan opfattes som generaliseringer af de projektive og affine planer , og mere bredt som 2 - blokdesigns , der kræver, at hver blok indeholder det samme antal punkter, og den væsentlige strukturelle egenskab er, at to punkter falder sammen med nøjagtig én linje.

Udtrykket lineært rum blev opfundet af Libois i 1964, selvom mange af resultaterne på lineære rum er meget ældre.

Definition

Lad L = ( P , G , I ) være en incidensstruktur, for hvilken elementerne i P kaldes punkter og elementerne i G kaldes linjer. L er et lineært rum, hvis følgende tre aksiomer gælder:

• (L1) to punkter er indfaldende med nøjagtig en linje.
• (L2) enhver linje falder sammen med mindst to punkter.
• (L3) L indeholder mindst to linjer.

Nogle forfattere udelader (L3), når de definerer lineære rum. I dette tilfælde betragtes lineære rum, der respekterer (L3), som ikke-trivielle , og de, der ikke gør det, er trivielle .

Eksempler

Det regulære euklidiske plan med dets punkter og linjer danner et lineært rum, desuden er alle affine og projektive rum lineære rum.

Tabellen nedenfor viser alle mulige ikke-trivielle fempunktsmellemrum. Da to punkter altid falder sammen med den samme linje, vises linjer, der kun falder sammen med to punkter, ikke. Det trivielle tilfælde er en lige linje gennem fem punkter.

I det første eksempel er ti rette linjer, der forbinder ti par punkter, ikke tegnet. Den anden illustration viser ikke de syv lige linjer, der forbinder de syv par af punkter.

Et lineært rum på n punkter, der indeholder en linje, der falder ind i n  − 1 punkter, kaldes en næsten bunke . (Se " bundt ")

Se også

• blok design
• Fano fly
• molekylær geometri
• Delvist lineært mellemrum

Noter

Litteratur

• Ernest E. Shult. Punkter og linjer. - Springer, 2011. - (Universitex). — ISBN 978-3-642-15626-7 . - doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 .

• Albrecht Beutelspacher. Einführung in die endliche Geometrie II  (tysk) . - Bibliographisches Institut, 1983. - S. 159. - ISBN 3-411-01648-5 .
• JH van Lint , R.M. Wilson . Et kursus i kombinatorik . - Cambridge University Press, 1992. - S.  188 . - ISBN 0-521-42260-4 .
• LM Batten, Albrecht Beutelspacher. Teorien om endelige lineære rum . - Cambridge: Cambridge University Press, 1992.