Eddington-Finkelstein koordinater

Eddington-Finkelstein- koordinaterne er et par koordinatsystemer for Schwarzschild-metrikken (sfærisk symmetrisk sort hul ), som er tilpasset til nulgeodætik . Nul-geodæten er verdenslinien for fotoner ; Radial geodætik er dem, langs hvilke fotoner rejser direkte mod eller væk fra den centrale masse. Dette par er opkaldt efter Arthur Stanley Eddington [1] og David Finkelstein [2] . De menes at have foreslået ideen, men ingen af dem skrev nogensinde eksplicit disse koordinater eller metrikker ned. Selvom Roger Penrose [3] var den første til at skrive det ned, er Finkelstein i artiklen citeret ovenfor og Eddington og Finkelstein i deres essay til Adams-prisen krediteret for opdagelsen af koordinaterne senere samme år. De mest indflydelsesrige Charles Misner , Kip Thorne og John Wheeler henviser til disse koordinater under dette navn i deres bog Gravity [4] .

I disse koordinatsystemer definerer de radiale lysstråler, som hver følger en nulgeodætisk, når de bevæger sig væk fra eller mod midten, overflader med konstant "tid", mens den radiale koordinat er rummets sædvanlige koordinat, således at overfladerne er tværgående. til den radiale koordinat, har rotationssymmetri med et areal på 4π r 2 . En fordel ved dette koordinatsystem er, at det viser, at det tilsyneladende træk ved Schwarzschild-radius kun er en koordinatsingularitet , ikke en ægte fysisk singularitet. Selvom dette faktum blev erkendt af Finkelstein, blev det ikke anerkendt (eller i det mindste ikke kommenteret) af Eddington, hvis hovedmål var at sammenligne og kontrastere de sfærisk symmetriske løsninger i Whiteheads gravitationsteori og Einsteins version af relativitet.

Schwarzschild metrisk

Schwarzschild-koordinater kaldes koordinater, således at Schwarzschild-metrikken i disse koordinater er skrevet som: $(t,r,\theta ,\varphi )$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r} }\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}

hvor

{\displaystyle d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

den standard Riemann-metrik for en todimensionel kugle.

Følgende konventioner bruges her: metrisk signatur (− + + +) og naturlige enheder , hvor c = 1 er lysets dimensionsløse hastighed, G er gravitationskonstanten , og M er den karakteristiske masse af Schwarzschild-geometrien.

Skildpaddekoordinat

Eddington-Finkelstein-koordinaterne er baseret på skildpaddekoordinaten [4] , som kommer fra et af Zenos paradokser om et imaginært kapløb mellem "hurtigfodet" Achilleus og en skildpadde .

Skildpaddekoordinaten er defineret som følger [4] : $r^{*}$

r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\,,

som tilfredsstiller:

{\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,.

Skildpaddens koordinat nærmer sig, når den nærmer sig Schwarzschild-radius . $r^{*}$ $-\infty$ $r$ $2GM$

Når en sonde (for eksempel en lysstråle eller en observatør) nærmer sig begivenhedshorisonten for et sort hul, stiger dens Schwarzschild-tidskoordinat til uendelig. Nul geodætiske linjer, der går til det uendelige i dette koordinatsystem, har en uendelig ændring i t , når de går ud over horisonten. Skildpaddens koordinat vokser uendeligt med den passende hastighed og eliminerer enestående adfærd i koordinatsystemer bygget på dens basis.

Forøgelse af tidskoordinaten til uendelig, når du nærmer dig begivenhedshorisonten, er grunden til, at information fra en sonde sendt gennem en sådan begivenhedshorisont ikke kan returneres. Og det på trods af, at selve sonden dog kan bevæge sig ud over horisonten. Dette er også grunden til, at rum-tids-metrikken for et sort hul, udtrykt i Schwarzschild-koordinater, bliver ental i horisonten – og dermed ikke kan bruges til et komplet (over hele rummets område) billede af den faldende sondes bane.

Metrisk

Det krympende Eddington-Finkelstein-koordinatsystem opnås ved at erstatte t -koordinaten med en ny koordinat . I disse koordinater kan Schwarzschild-metrikken skrives som [5] $v=t+r^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,,

hvor det antages at

{\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

den standard Riemann-metrik på den todimensionelle sfære af enhedsradius.

På samme måde opnås det ekspanderende Eddington-Finkelstein-koordinatsystem ved at erstatte t med en ny koordinat . Derefter er metrikken givet ved udtrykket [6] $u=tr^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,.

I begge disse koordinatsystemer har metrikken tydeligvis ingen singularitet ved Schwarzschild-radius (selvom en komponent forsvinder ved denne radius, forsvinder metrikkens determinant stadig ikke, og den inverse metriske har heller ingen divergerende termer på det tidspunkt) . Det ekspanderende koordinatsystem beskriver udstødningen af partikler fra centrum uden for gravitationsradius, men når man forsøger at bruge det til faldende partikler inde i gravitationsradius, opstår en singularitet svarende til Schwarzschild man. For et kontraherende koordinatsystem har indgående partikler inden for gravitationsradius ikke en singularitet, men en singularitet opstår, når man forsøger at beskrive udgående partikler uden for gravitationsradius. Et krympende koordinatsystem bruges til at beskrive gravitationssammenbrud [7] .

For nulflader v=const eller =const , eller tilsvarende =const eller u=const , viser det sig, at dv/dr og du/dr nærmer sig 0 og ± 2 ved store r , i stedet for ± 1, som man kunne forvente, hvis vi betragter u eller v som "tid". Når man konstruerer Eddington-Finkelstein-diagrammer, tegnes overflader med konstant u eller v normalt som kegler, og konstante u- eller v -linjer tegnes som 45-graders skrå, ikke som planer [8] . Nogle kilder bruger i stedet erstatning , hvilket svarer til fly i sådanne diagrammer. I disse koordinater (for ) bliver metrikken $v-2r^{*}$ $u+2r^{*}$ $t'=t\pm (r^{*}-r)\,$ $t'$

{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt' \,dr+\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}=(-dt'^{2} +dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r))(dt'\pm dr)^{2))

som bliver til Minkowski for store r . Disse tidskoordinater og metrik blev præsenteret af Eddington og Finkelstein i deres papirer.

Eddington-Finkelstein-koordinaterne er stadig ufuldstændige og kan udvides. For eksempel er det at bevæge sig til det uendelige en tidslignende geodætisk, defineret (med korrekt tid ) $\tau$

r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}

{\begin{aligned}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{aligned}}

har v ( τ )→−∞ som τ → 2GM . Det vil sige, at denne tidslignende geodætiske har en endelig passende længde til fortiden, hvor den forlader horisonten ( r = 2 GM ), når v nærmer sig . Domænerne for finite v og r < 2 GM er forskellige fra domænerne for finite u og r < 2 GM . En horisont med r = 2 GM og en endelig v ( sort huls horisont ) er forskellig fra en horisont med r = 2 GM og endelig u ( hvidt huls horisont ). $-\infty$

Metrikken i Kruskal-Szekeres koordinater dækker hele den udvidede Schwarzschild rumtid i et enkelt koordinatsystem. Dens største ulempe er, at metrikken i disse koordinater afhænger af både tidsmæssige og rumlige koordinater. I Eddington-Finkelstein-koordinatsystemet, som i Schwarzschild-koordinaterne, er metrikken ikke afhængig af "tid" (enten t i Schwarzschild eller u eller v i forskellige Eddington-Finkelstein-koordinatsystemer), men ingen af dem dækker hele rummet -tid [7] .

Eddington-Finkelstein- koordinaterne har nogle ligheder med Gullstrand-Painlevé -koordinaterne , idet de både er uafhængige af tid og trænger (regulære) ind i enten fremtidige (sort hul) eller tidligere (hvide hul) horisonter. Begge metrikker er ikke diagonale (hyperoverflader med konstant "tid" er ikke ortogonale i forhold til hyperoverflader med konstant r ). Sidstnævnte har en flad rumlig metrik, mens de rumlige ('tidskonstant') hyperoverflader af førstnævnte er nul og har samme metriske som en lyskegle i Minkowski-rummet ( i flad rumtid). $t=\pm r$

Noter

↑ Eddington A. S. (februar 1924). " Sammenligning af Whitehead og Einsteins formler " (PDF) . Naturen . 113 (2832): 192. Bibcode : 1924Natur.113..192E . DOI : 10.1038/113192a0 . Arkiveret (PDF) fra originalen 2021-11-22 . Hentet 2021-06-26 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ David Finkelstein (1958). " Asymmetri af gravitationsfeltet for en punktpartikel i fortiden og fremtiden " . Fysisk gennemgang . 110 : 965-967. Bibcode : 1958PhRv..110..965F . DOI : 10.1103/PhysRev.110.965 .
↑ Roger Penrose (1965). " Tyngekraftssammenbrud og rum-tids-singulariteter " . Fysiske anmeldelsesbreve . 14 (3):57-59. Bibcode : 1965PhRvL..14...57P . DOI : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
↑ 1 2 3 Misner, Thorne & Wheeler, 1977 , s. 24.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , s. 25.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , s. 26.
↑ 1 2 Misner, Thorne og Wheeler, 1977 , s. 27.
↑ Se for eksempel boks 31.2 i Gravity.

Litteratur

Mizner C. , Thorn K. , Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 3. - 510 s.