Isophota

Isophote ( eng. Isophote ) - en kurve på en oplyst overflade, der forbinder punkter med samme lysstyrke . Antag, at belysningen er skabt af en stråle af parallelle lysstråler, og lysstyrken er udtrykt af det skalære produkt $b$

b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi \ .

${\vec {n}}(P)$ er en enhedsvektor vinkelret på overfladen i punktet , og vektoren er en enhedsvektor i lysets udbredelsesretning. I det tilfælde , hvor lyset er vinkelret på normalen til overfladen, er punktet et punkt på overfladens silhuet i retningen . En lysstyrke på 1 betyder, at lysstrålen er vinkelret på overfladen. På planet, inden for rammerne af antagelsen om, at strålen af stråler er parallel, vil der ikke være nogen isofoter. $P$ ${\vec {v}}$ $b(P)=0$ $P$ ${\vec {v}}$

I astronomi er et isofoto en kurve på et billede af et objekt, der forbinder punkter med samme lysstyrke. [en]

Applikation og eksempel

I computerstøttede designsystemer bruges isofoter til optisk at kontrollere glatheden af overfladesammenføjning. For en overflade (givet implicit eller parametrisk), der er differentierbar nok gange, afhænger normalvektoren af de første afledte. Som følge heraf er isofoternes differentiabilitet og deres geometriske kontinuitet af 1 orden mindre end selve overfladen. Hvis kun tangentplaner er kontinuerte i et punkt på overfladen (glathed af orden 1), så har isofoter brud (kun glathed af orden nul).

I det følgende eksempel er to skærende Bézier-flader dækket af en del af den tredje overflade. I figuren til venstre rører den dækkende overflade Bezier overflader med glathedsorden 1, i figuren til højre med glathedsorden 2. Fra selve figurerne er forskellen mellem situationerne dårligt synlig, men studiet af det geometriske kontinuitet af isofoter viser: i figuren til venstre har isofoterne brud (glathed af orden 0), og i figuren til højre ser isofoterne glatte ud (glathed af orden 1).

Isofoter på to Bézier-overflader: knæk er synlige til venstre, glatte isofoter til højre.

Bestemmelse af isofotopunkter

på en implicit overflade

For en implicit givet overflade med ligningen opfylder isofoterne ligheden $f(x,y,z)=0$

{\frac {\nabla f\cdot {\vec {v))}{|\nabla f|}}=c\ .

Det betyder: punkterne på isofoten med den givne parameter repræsenterer løsningen af det ikke-lineære system $c$

$\ f(x,y,z)=0,\qquad \nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v))-c\;|\nabla f(x,y,z )|=0\ ,$

som kan betragtes som en skæringslinje mellem to implicit definerede overflader. Ved at bruge algoritmen præsenteret af Bajaj et al. (se referencer), kan en polygon beregnes ud fra isofotopunkter.

på en parametrisk defineret overflade

I tilfælde af en parametrisk specificeret overflade har ligningen for isofoter formen ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$

{\frac {({\vec {S}}_{s}\time {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S }}_{s}\ gange {\vec {S}}_{t}|}}=c\ ,

som svarer til udtrykket

$\ ({\vec {S}}_{s}\ gange {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S} }_{s}\ gange {\vec {S}}_{t}|=0\ .$

Denne ligning beskriver en implicit defineret kurve i st-planet, som kan repræsenteres ved hjælp af en passende algoritme og konverteres ved hjælp af punkter på overfladen. ${\vec {S}}(s,t)$

Litteratur

J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , s. 31.
Z. Sun, S. Shan, H. Sang et. al.: Biometric Recognition , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , s. 158.
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Tracing Surface Intersections , (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, s. 285-307.
C.T. Leondes: Computer Aided and Integrated Manufacturing Systems: Optimization methods , Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4 , s. 209.

Noter

↑ J. Binney, M. Merrifield: Galactic Astronomy , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , s. 178.