Problemet med beskidte børn , også kendt som problemet med utro kone , problemet med blåøjede øboer eller paradokset med blåøjede øer , er en klassisk illustration af ideen om almen viden . Tilhører området dynamisk epistemisk logik , løst ved hjælp af matematisk induktion .
Børnene legede udenfor, og deres far kaldte dem ind i huset. Børnene samledes omkring deres far. Som det er let at forestille sig, blev nogle af dem beskidte, mens de spillede; især nogle har et mudret ansigt. Hvert barn kan kun se snavs på andre børns ansigter, ikke på deres eget. Alt dette er kendt af alle, og børn er selvfølgelig ideelle logikere. Faderen siger: "Mindst en af jer er dækket af mudder." Og så: "Dem af jer, der ved, at I er beskidte, træd frem." Hvis ingen tager et skridt frem, gentager faderen sin kommando igen og igen. Ved en vis iteration tager alle beskidte børn et skridt fremad. Hvornår vil det præcist ske, hvis m børn ud af deres samlede antal k er snavsede , og hvorfor?
Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] En gruppe børn har leget udenfor, og de bliver kaldt tilbage i huset af deres far. Børnene samles om ham. Som man kan forestille sig, er nogle af dem blevet beskidte af stykket. Især: de kan have mudder i ansigtet. Børn kan kun se, om andre børn er mudrede, og ikke om der er mudder i deres eget ansigt. Alt dette er almindeligt kendt, og børnene er naturligvis perfekte logikere. Far siger nu: "Mindst én af jer er mudret." Og så: "Vil de, der ved, om de er mudrede, træde frem." Hvis ingen træder frem, bliver far ved med at gentage anmodningen. På et tidspunkt vil alle mudrede børn træde frem. Hvornår sker det, hvis m ud af k børn i alt er mudrede, og hvorfor? — van Ditmarsch & Kooi, 2015Når man analyserer, hvad der sker, bruges metoden matematisk induktion [1] .
Denne begrundelse demonstrerer, hvordan m børn kan vide med sikkerhed, at de er beskidte ved den månedlige gentagelse af processen. Et strengt bevis på, at ingen anden begrundelse vil føre dem til denne konklusion tidligere, er dog ret ikke-trivielt [2] .
Overvej eksemplet med m = 2 beskidte børn, Alice og Bob [3] [4] .
For m = 3 børn - Alice, Bob, Caroline [4] :
I løsningen af problemet og modelleringen af børns ræsonnement spiller en nøglerolle af deres viden om, hvad andre deltagere i processen ved, og især det faktum, at når der efter faderens næste kommando, ingen tager en skridt frem, er dette ensbetydende med en offentlig meddelelse (svarende til faderens udtalelse om, at der er mindst ét beskidt barn), at indtil dette tidspunkt vidste ingen af børnene, om han var beskidt eller ej. Det er også vigtigt, at børn ikke lyver, de ræsonnerer helt logisk, og disse fakta er også kendt af alle, det vil sige, at de kan bruges i ræsonnementer, herunder til at modellere nogle deltageres ræsonnement af andre. Begrundelsen bygger i det væsentlige på det faktum, at hver af deltagerne ved, at hver enkelt ved, at hver enkelt kender ... indholdet af faderens indledende udtalelse og resultaterne af hans kommandoer om at tage et skridt fremad, og denne kæde kan gøres ret lang. Dette er tilfældet, da disse fakta er almindelig kendt - kæderne "alle ved, at alle ved, at ..." er sande, af vilkårligt lange længder. Begrebet almindelig viden er vigtigt i epistemisk logik, og beskidte børn-problemet er et klassisk eksempel, der illustrerer indholdet af dette begreb og betydningen af andre bestemmelser brugt i løsningen [5] .
Et lignende problem, som dog ikke omfattede synkronisering, det vil sige veldefinerede tidspunkter for udveksling af information (såsom kommandoer fra faderen om at komme frem), blev fundet i kommentarerne til den tyske oversættelse fra 1832 af den berømte satirisk roman Gargantua og Pantagruel . Denne opgave (både i versionen uden synkronisering og med den) blev kendt i midten af det 20. århundrede sammen med andre opgaver, der indebar analyse af nogle deltageres bevidsthed og ræsonnement af andre [1] .
Der er mange muligheder for problemets betingelser, logisk ækvivalente, men forskellige i entourage [6] : for eksempel, i stedet for børn smurt ind i mudder, kan utro hustruer optræde i tilstanden, som hver især er kendt for at være utro for alle undtagen hendes egen mand - i dette tilfælde bliver der på den første dag offentliggjort en offentlig meddelelse om, at der er utro koner i byen, og manden skal straffe sin kone samme nat, som han indser, at hun er utro (eller omvendt, hustruer straffer utro ægtemænd) [7] .
I en anden version optræder blåøjede øboere [6] - religion forpligter hver øboer til at begå selvmord ved næste midnat, hvis han genkender farven på hans øjne, og udgangspunktet for opgaven er kopien af en besøgende på øen, hvoraf det følger, at der er mindst én blåøjet indbygger på øen. I dette miljø er problemet også formuleret som et paradoks : ræsonnement ved induktion viser, at hvis der er m blåøjede øboere på øen, så vil de ved m - midnat alle begå selvmord, selvom m er stor - men hvorfor lader det dog til, at den besøgende ikke fortalte øboerne noget nyt, fordi de hver dag ser en masse blåøjede stammefolk? Som det følger af ovenstående, er løsningen på paradokset, at før den besøgendes offentligt udtalte bemærkning, gjorde kæden "enhver øboer, at nogen ved, at nogen ved ... at der er blåøjede mennesker på øen" ikke. nå en længde, der er tilstrækkelig til at udlede information om farven på ens egne øjne [4] [2] . Når man formulerer problemet i denne form, er det især vigtigt omhyggeligt at udarbejde et regelsystem for de indfødte for ikke at give dem mulighed for at komme uden om dem og undgå et trist udfald [8] .