Buffons nålekastningsproblem
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. oktober 2021; checks kræver 2 redigeringer .Buffons nålekastningsproblem er et af de første eksempler på anvendelse af Monte Carlo-metoden og overvejelse af begrebet geometrisk sandsynlighed . Problemet blev formuleret af Buffon i 1777 . Det viste sig, at dette problem gjorde det muligt at bestemme tallet π ved sandsynlighedsmetoder.
Essensen af problemet
Essensen af metoden var at kaste en lang nål på et plan tegnet af parallelle lige linjer placeret i en afstand fra hinanden (se fig. 1).
Sandsynligheden (som det kan ses af den videre sammenhæng, taler vi ikke om sandsynlighed, men om den matematiske forventning om antallet af skæringer i en oplevelse; dette bliver kun en sandsynlighed under forudsætning af, at ) for at segmentet skærer en ret linje , er relateret til tallet Pi:
, hvor
- - afstanden fra begyndelsen af nålen til den lige linje nærmest den;
- - nålens vinkel i forhold til de lige linjer.
Forudsat at løsningen opnås: . Ved at tælle andelen af segmenter, der skærer rette linjer, kan vi således tilnærmelsesvis bestemme tallet Pi. Efterhånden som antallet af forsøg stiger, vil nøjagtigheden af resultatet stige.
I 1864 gennemførte kaptajn Fox, der kom sig over et sår, for på en eller anden måde at beskæftige sig selv, et eksperiment med at kaste en nål [1] . Resultaterne er præsenteret i følgende tabel: [2]
| Antal kast | Antal kryds | Nåle længde | Afstand mellem lige linjer | Rotation | Pi værdi | Fejl | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Første forsøg | 500 | 236 | 3 | fire | mangler | 3,1780 | −0,03640734 |
| Andet forsøg | 530 | 253 | 3 | fire | til stede | 3,1423 | −0,00070734 |
| Tredje forsøg | 590 | 939 | 5 | 2 | til stede | 3,1416 | +0,00000734 |
Kommentarer:
- Planrotation blev anvendt [2] (og, som resultaterne viser, med succes) for at reducere den systematiske fejl .
- I det tredje forsøg var nålens længde større end afstanden mellem linjerne, hvilket gjorde det muligt, uden at øge antallet af kast, effektivt at øge antallet af begivenheder og forbedre nøjagtigheden.
Variationer og generaliseringer
- Buffon pastaproblemet er en variant af problemet for kurver. [3]
Noter
- ↑ Math Surprises: An Example Arkiveret 4. februar 2012. (Engelsk)
- ↑ 1 2 A.Hall. Om en eksperimentel bestemmelse af Pi // The Messenger of Mathematics. - 1872. - Bd. 2. - S. 113-114.
- ↑ Ramaley, JF (1969). "Buffons nudelproblem" (PDF) . American Mathematical Monthly . Mathematical Association of America. 76 (8. oktober 1969): 916-918. DOI : 10.2307/2317945 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2317945 . Arkiveret fra originalen (PDF) 2020-01-14 . Hentet 2020-11-23 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
Litteratur
- Fedotov NG Metoder til stokastisk geometri i mønstergenkendelse. - M . : Radio og kommunikation, 1990. - 142 s.