Gensidigt gitter

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. oktober 2013; checks kræver 13 redigeringer .

Et reciprokt gitter er et tredimensionelt punktgitter i et abstrakt reciprokt rum, hvor afstande har dimensionen af reciprok længde. Konceptet med et gensidigt gitter er praktisk til at beskrive diffraktionen af røntgenstråler , neutroner og elektroner på en krystal. Det reciproke gitter (reciprok rum, momentum rum ) er Fourier-transformationen af et direkte krystalgitter (direkte rum).

Definition

Hver krystalstruktur svarer til to gitter: et krystalgitter og et gensidigt gitter. Det er muligt at definere vektorerne for direkte og reciproke gitter. Et diffraktionsmønster er et kort over en krystals gensidige gitter, ligesom et mikroskopisk billede er et kort over en krystals faktiske struktur. Krystalgittervektorer har dimensionen længde, og dimensionen af reciproke gittervektorer er [længde] −1 . Det krystallinske gitter er et gitter i almindeligt, virkeligt rum; det gensidige gitter er et gitter i Fourier -rummet . $\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}}$ $\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}}$

I krystallografi består det reciproke gitter af et sæt vektorer K således, at

e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1

for alle vektorer R , der angiver positionen af krystalgitterets noder.

For et uendeligt tredimensionelt gitter karakteriseret ved basisvektorer , er dets reciproke gitter givet af en tripel af basisvektorer af det reciproke gitter , relateret til basisvektorerne for det direkte gitter ved relationen og beregnet af formlerne $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )$ $(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} )$ $\mathbf {a_{j}} \cdot \mathbf {b_{k}} =\mathbf {b_{k}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{jk} =\venstre\{{\begin{matrix}2\pi ,&j=k\\0,&j\neq k\end{matrix}}\right.$

{\mathbf {b_{{1}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{2}}}}\ gange {\mathbf {a_{{3}}}}}{{\ mathbf {a_{{1}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{2}}}}\ gange {\mathbf {a_{{3}}}})}}

{\mathbf {b_{{2}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{3}}}}\ gange {\mathbf {a_{{1}}}}}{{\ mathbf {a_{{2}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{3}}}}\ gange {\mathbf {a_{{1}}}})}}

{\mathbf {b_{{3}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{1}}}}\ gange {\mathbf {a_{{2}}}}}{{\ mathbf {a_{{3}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{1}}}}\ gange {\mathbf {a_{{2}}}})}}

Ovenstående definition kaldes den fysiske definition, da faktoren 2π opstår naturligt fra studiet af periodiske strukturer. En ækvivalent krystallografisk definition opstår, hvis de reciproke gittervektorer adlyder følgende relation , hvilket ændrer formlerne for at finde de reciproke gittervektorer: $e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$

\mathbf {b_{1}} ={\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf { a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}

og tilsvarende for andre vektorer. Den krystallografiske definition er fordelagtig ved, at den defineres som den gensidige af retningen uden 2π -faktoren . Det kan forenkle visse matematiske manipulationer og udtrykker de gensidige målinger af gitteret i enheder af rumlig frekvens. Det er et spørgsmål om bekvemmelighed, hvilken definition af reciproke gittervektorer, der skal bruges, uden selvfølgelig at blande dem sammen. $\mathbf {b_{1}}$ $\mathbf {a_{1}}$ $\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}}$

Med andre ord kan hvert system af planer specificeres fuldstændigt af den reciproke gittervektor b , som er vinkelret på planerne og er lig med b = 2 π/d , hvor d er den interplanare afstand. Dette kan opfattes som definitionen af reciproke gittervektorer.

Den krystallografiske definition af en basis i vektoralgebra kaldes en reciprok basis og bruges til at bevise nogle udsagn relateret til vinklerne mellem vektorer og det blandede produkt [1] :212-214 .

Det reciproke gitter bruges til at bestemme planets indekser . Ethvert krystallografisk plan svarer til et sæt af reciproke gittervektorer, mens ekspansionskoefficienterne for den korteste vektor i reciproke gitterenhedsvektorer er indeksene for planet.

Noter

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i eksempler og opgaver . - M . : Højere skole , 1985. - 232 s.

Kilder

Sirotin Yu. I., Shaskolskaya MP Grundlæggende om krystalfysik. — M .: Nauka, 1979. — 640 s.