Haar wavelet

Haar wavelet er en af de første og enkleste wavelets . Det er baseret på det ortogonale system af funktioner , som den ungarske matematiker Alfred Haar i 1909 [1] . Haar-bølgerne er ortogonale, har kompakt støtte, er godt lokaliseret i rummet, men er ikke glatte. Efterfølgende begyndte Ingrid Daubechies at udvikle teorien om ortogonale wavelets og foreslog brugen af funktioner beregnet iterativt, kaldet Daubechies wavelets.

Konstruktion af Haar wavelet

Den overordnede (moder) wavelet-funktion med nulværdi af integralet , som bestemmer detaljerne i signalet, er givet som følger: $\psi(x)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\,dx=0$

$\psi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1/2\\-1,&1/2\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\; 1)\end{cases}}$

Skaleringsfunktionen med enhedsværdien af integralet , som bestemmer en grov tilnærmelse ( approksimation ) af signalet, er konstant: $\varphi(x)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=1$ $\varphi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\;1)\end{cases}}$

Haar transformation

Haar-transformationen bruges til at komprimere inputsignaler, komprimere billeder, for det meste farve og sort/hvid med jævne overgange. Ideel til billeder såsom røntgenbilleder. Denne type arkivering har været kendt i lang tid og kommer direkte fra ideen om at bruge sammenhængen mellem regioner. Kompressionsforholdet er indstillet og varierer mellem 5-100. Når du forsøger at indstille en højere koefficient på skarpe kanter, især dem der passerer diagonalt, opstår der en "trappeeffekt" - trin med forskellig lysstyrke flere pixels i størrelse .

Haar transformation for et-dimensionelt signal

Lad der være et endimensionelt diskret indgangssignal . Hvert par af tilstødende elementer er tildelt to numre: og . Ved at gentage denne operation for hvert element i det originale signal, opnås to signaler ved udgangen, hvoraf det ene er en grov version af inputsignalet - , og det andet indeholder den detaljerede information, der er nødvendig for at genoprette det oprindelige signal. På samme måde kan Haar-transformationen anvendes på det modtagne signal og så videre. $S$ $a_{i}={\frac {S_{{2i}}+S_{{2i+1}}}{2}}$ $b_{i}={\frac {S_{{2i}}-S_{{2i+1}}}{2}}$ $a_{i}$ $a_{i}$

Eksempel

Lad inputsignalet blive repræsenteret som en streng med 8 pixel lysstyrkeværdier ( ): (220, 211, 212, 218, 217, 214, 210, 202). Efter anvendelse af Haar - transformationen opnås følgende to sekvenser : (215,5, 215, 215,5, 206) og (4,5, -3, 1,5, 4). Det er værd at bemærke, at værdierne er ret tæt på 0. Ved at gentage operationen for sekvensen får vi: (215.25, 210.75) (0.25, 4.75). $S$ $a_{1}$ $b_{1}$ $b_{1}$ $a_{1}$

Eksemplet med Haar-transformationen viser tydeligt strukturen af den diskrete wavelet-transformation af signalet. Ved hvert trin af transformationen opdeles signalet i to komponenter: en tilnærmelse med lavere opløsning ( approksimation ) og detaljeret information.

Haar transformation for et todimensionelt signal

En todimensionel Haar-transformation er intet mere end en sammensætning af en-dimensionelle Haar-transformationer. Lad det todimensionale indgangssignal være repræsenteret af matrixen . Efter påføring af den endimensionelle Haar-transformation på hver række af matrixen opnås to nye matricer, hvis rækker indeholder den tilnærmede og detaljerede del af rækkerne i den oprindelige matrix. Tilsvarende påføres en endimensionel Haar-transformation til hver søjle af de opnåede matricer, og fire matricer opnås ved udgangen, hvoraf den ene er en tilnærmelsesvis komponent af det oprindelige signal, og de resterende tre indeholder detaljeret information - lodret, vandret og diagonal. $S$ $S$

Se også

Noter

↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Dissertation (Gottingen, 1909); Matematik. Ann. 69 (1910), 331-371, 71 (1912), 33-53