Asymptotisk Weyl formel

Weils asymptotiske formel relaterer volumenet af en Riemann-manifold til den asymptotiske adfærd af egenværdierne af dens Laplacian .

Historie

Forholdet blev opnået af Hermann Weyl i 1911. Oprindeligt blev det kun formuleret til regioner i det euklidiske rum. I 1912 præsenterede han et nyt bevis baseret på variationsmetoder . [en]

Ordlyd

Lad være en -dimensionel Riemann-manifold. Angiv med antallet af egenværdier (under hensyntagen til multipliciteten), der ikke overstiger , for Dirichlet-problemet på . Derefter $\Omega$ $d$ $N(\lambda )$ $\lambda$ $\Omega$

N(\lambda )={\frac {\omega _{d}}{(2\pi )^{d}}}\cdot \operatørnavn {vol} \Omega \cdot \lambda ^{d/2 }+o(\lambda ^{d/2})

hvor angiver volumenet af enhedskuglen i -dimensionelt euklidisk rum. [2] ${\displaystyle \omega _{d))$ $d$

Præciseringer

Estimatet for resten er blevet forbedret mange gange.

I 1922 forbedrede Richard Courant det til . $O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )$
I 1952 viste Boris Levitan en strammere begrænsning for lukkede manifolder. $O(\lambda ^{(d-1)/2})$
Robert Seeley især til at inkludere visse euklidiske domæner, i 1978[3]

Formentlig er det næste led i asymptotikken for proportional med arealet af grænsen . Givet denne periode skal skønnet for resten være . Især, under forudsætning af, at der ikke er nogen grænse, bør estimatet for det resterende led i formlen ovenfor være . ${\displaystyle \lambda ^{(d-1)/2))$ $\Omega$ $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ $o(\lambda ^{(d-1)/2})$

I 1975 beviste Hans Deistermaat og Victor Guillemin et skøn under nogle yderligere generelle stillingsbetingelser. [fire] $o(\lambda ^{(d-1)/2})$
- Sidstnævnte blev opsummeret af Victor Ivry i 1980. [5] Denne generalisering antager, at sættet af periodiske billardbaner i har mål 0. Sidstnævnte gælder muligvis for alle afgrænsede euklidiske domæner med glatte grænser. $\Omega$

Noter

↑ H. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen (tysk) // Math. Ann. : butik. - 1912. - Bd. 71 . - S. 441-479 .
↑ Weyl, Hermann. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (neopr.) // Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1911. - S. 110-117 .
↑ R. Seeley. Et skarpt asymptotisk estimat for egenværdierne af Laplacian i et domæne af // Adv. Math.. - 1978. - Vol. 29, nr. 2. - S. 244-269. - doi : 10.1016/0001-8708(78)90013-0 . $\mathbf {R} ^{3}$
↑ JJ Duistermaat, VW Guillemin. Spektret af positive elliptiske operatorer og periodiske bikarakteristika // Inventiones mathematicae. - 1975. - Bd. 29, nr. 1. - S. 39-79. - doi : 10.1007/BF01405172 .
↑ V. Ya. Ivry. På det andet led af den spektrale asymptotik for Laplace-Beltrami-operatoren på manifolds med grænse // Funktion. analyse og dens anvendelser - 1980. - V. 14 , nr. 2 . - S. 25-34 .